Lý thuyết Hoán vị. Chỉnh hợp

A. Lý thuyết

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử $\left(n\in N^{\ast }\right)$. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

b) Số các hoán vị

Kí hiệu $P_n$ là số các hoán vị của n phần tử. Ta có $P_n=n(n-1)...2.1$.

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa

Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với $1\le k\le n$. Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Số các chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1\le k\le n)$. Ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k+1)$.

Nhận xét: $A_n^n=P_n$ $\forall n\in N^{\ast }$.

 

B. Bài tập

Bài 1: Hãy liệt kê các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3.

Giải:

Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là:
123, 132, 213, 231, 312, 321.

Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.

Giải:

Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.

Vậy số cách sắp xếp là: $P_5=\mathrm{5.4.3.2.1}=120$.

Bài 3: Hãy liệt kê các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

Giải:

Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là:
12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?

Giải:

Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Vậy có $A_{10}^6=\mathrm{10.9.8.7.6.5}=151200$ (cách để tạo mật mã).