Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

A. Lý thuyết

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

b) Số các hoán vị

Kí hiệu $P_n$ là số hoán vị của n phần tử. Ta có $P_n=n(n-1)...2.1$.

Chú ý:

- Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)…2.1 và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n. Khi đó, $P_n=n!$.

- Quy ước: 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa

Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chính hợp chập k của n phần tử đó.

b) Số các chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1\le k\le n)$. Ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k+1)$.

Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Ta có $P_n=A_n^n$, $n\ge 1$.

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b) Số các tổ hợp

Kí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử với $1\le k\le n$. Ta có: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0\le k\le n$.

Chú ý: Người ta quy ước $C_n^0=1$.

Nhận xét:

Ta có hệ thức $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$.

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ 1: Tính $P_8=8!$.

Ta được kết quả 40320.

Ví dụ 2: Tính C$A_{12}^5$.

Ta được 95040.

Ví dụ 3: Tính $C_{20}^{11}$.

Ta được 167960.

 

B. Bài tập

Bài 1: Bài đồ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như hình vẽ. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để xe ô tô.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống?

b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.

Giải:

a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là $P_3=\mathrm{3.2.1}=6$ (cách).

b) Sơ đồ hình cây như hình dưới. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cạnh lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cạnh bé. Từ đó, số cạnh bé bằng 3.2.1 = 6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.

Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.

Giải:

Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.

Vậy số cách sắp xếp là: $P_5=\mathrm{5.4.3.2.1}=120$.

Bài 3: Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích.

Giải:

Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là $A_{10}^3=\mathrm{10.9.8}=720$.

Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?

Giải:

Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Vậy có $A_{10}^6=\mathrm{10.9.8.7.6.5}=151200$ (cách để tạo mật mã).

Bài 5: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.

Giải:

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:

{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

Bài 6: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.

a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?

c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?

Giải:

a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có $C_{18}^3$ cách chọn.

b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có $C_{20}^5$ cách chọn.

c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: $C_{18}^3.C_{20}^5=816.15504=12651264$.

Bài 7: Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bê ghế của lớp cho buổi chào cờ.

a) Tổ có bao nhiêu cách phân công 4 bạn đi bê ghế?

b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bê ghế?

Giải:

a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là một tổ hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bê ghế là $C_9^4=\frac{9!}{4!5!}=\frac{\mathrm{9.8.7.6}}{\mathrm{4.3.2.1}}=126$ (cách).

b) Tương tự, số cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bê ghế là $C_9^5=\frac{9!}{5!4!}=126$ (cách).