Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

A. Lý thuyết

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó $\left(n\in N^{\ast }\right)$.

b) Số các hoán vị

Kí hiệu $P_n$ là số các hoán vị của n phần tử. Ta có $P_n=n(n-1)...2.1$.

Chú ý: Tích 1.2…n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1.2…n.

Quy ước: 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa

Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, $1\le k\le n$).

b) Số các chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1\le k\le n)$. $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k+1)$.

Chú ý: $A_n^n=P_n$ $\forall n\in N^{\ast }$.

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, $0\le k\le n$).

b) Số các tổ hợp

Kí hiệu $C_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(0\le k\le n)$. $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Chú ý: $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$.

4. Ứng dụng hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính $P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

5. Sử dụng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ 1: Tính $P_8=8!$.

Ta được kết quả 40320.

Ví dụ 2: Tính C$A_{12}^5$.

Ta được 95040.

Ví dụ 3: Tính $C_{20}^{11}$.

Ta được 167960.

 

B. Bài tập

Bài 1: Bài đồ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như hình vẽ. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để xe ô tô.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống?

b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.

Giải:

a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là $P_3=\mathrm{3.2.1}=6$ (cách).

b) Sơ đồ hình cây như hình dưới. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cạnh lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cạnh bé. Từ đó, số cạnh bé bằng 3.2.1 = 6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.

Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.

Giải:

Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.

Vậy số cách sắp xếp là: $P_5=\mathrm{5.4.3.2.1}=120$.

Bài 3: Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích.

Giải:

Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là $A_{10}^3=\mathrm{10.9.8}=720$.

Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?

Giải:

Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Vậy có $A_{10}^6=\mathrm{10.9.8.7.6.5}=151200$ (cách để tạo mật mã).

Bài 5: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.

Giải:

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:

{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

Bài 6: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.

a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?

c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?

Giải:

a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có $C_{18}^3$ cách chọn.

b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có $C_{20}^5$ cách chọn.

c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: $C_{18}^3.C_{20}^5=816.15504=12651264$.

Bài 7: Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bề ghế của lớp cho buổi chào cờ.
a) Tổ có bao nhiêu cách phân công 4 bạn đi bề ghế?
b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bề ghế?

Giải:

a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là một tổ hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bề ghế là $C_9^4=\frac{9!}{4!5!}=\frac{\mathrm{9.8.7.6}}{\mathrm{4.3.2.1}}=126$ (cách).

b) Tương tự, số cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bề ghế là $C_9^5=\frac{9!}{5!4!}=126$ (cách).