Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số. - Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. - Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số. - Tìm cực trị của hàm số. - Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có). - Lập bảng biến thiên của hàm số. 3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-4$.

1. Tập xác định của hàm số: R.

2. Sự biến thiên:

- Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.

- Trên khoảng $\left(0;2\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại.

- Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\infty }{lim}y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{lim}y=-\infty$.

- Bảng biến thiên:

 

3. Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;4\right)$.

- Ta có: y = 0 $\iff$ x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(2;0\right)$.

- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(1;-2\right)$.

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

a) Hàm số phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$.

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}.

2. Sự biến thiên:

- Ta có: $y^{\prime }=-\frac{3}{{(x-2)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$.

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

- Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận: $\underset{x\to -\infty }{lim}y=1;\underset{x\to +\infty }{lim}y=1$.

                  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\infty$.

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1.

- Bảng biến thiên:

 

3. Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$.

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$.

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm I$\left(2;1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

 

b) Hàm số phân thức $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}(a\ne 0,p\ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$.

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}.

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$.

- Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{{(x-2)}^2}$ . Vậy y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3.

- Trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

- Trên các khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

- Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với $y_{CT}=5$.

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{lim}y=+\infty$.

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x-2}=0$; $\underset{x\to -\infty }{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{x-2}=0$.

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x + 1.

- Bảng biến thiên:

 

3. Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

- Ta có: $y=0\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$.

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm I$\left(2;3\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.