Lý thuyết Logarit

A. Lý thuyết

1. Khái niệm logarit

a) Định nghĩa

Cho hai số thực dương a, b và a khác 1. Số thực α$\alpha$ thỏa mãn đẳng thức aα=b$a^{\alpha }=b$ được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu logab${\log }_{a}b$, nghĩa là α=logab⇔aα=b$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$.

Lưu ý:

- Không tồn tại logarit của số âm và số 0.

- Logarit cơ số 10 của một số dương b là logarit thập phân của b, ký hiệu logb hay lgb.

- Logarit cơ số e của một số dương b là logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) của b, ký hiệu lnb.

b) Tính chất

Cho a là một số dương khác 1, b là một số dương và số thực α$\alpha$. +) loga1=0${\log }_{a}1=0$ +) logaa=1${\log }_{a}a=1$ +) alogab=b$a^{{\log }_{a}b}=b$ +) loga(aα)=α${\log }_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

2. Quy tắc tính logarit

a) Logarit của một tích và logarit của một thương

Cho ba số dương a, b1$b_1$, b2$b_2$ và a≠1$a\ne 1$. Khi đó: +) loga(b1b2)=logab1+logab2${\log }_a\left(b_1{b}_2\right)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$ +) loga(b1b2)=logab1−logab2${\log }_a\left(\frac{b_1}{b_2}\right)={\log }_a{b}_1-{\log }_a{b}_2$

Lưu ý: loga1b=−logab${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$.

b) Logarit của một lũy thừa

Cho hai số dương a, b với a≠1$a\ne 1$. Với mọi α$\alpha$, ta có: logαbα=αlogab${\log }_{\alpha }{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$.

Lưu ý : logan√b=1nlogab${\log }_a\sqrt[n]{nb}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ (n∈N,n≥2)$(n\in N,n\ge 2)$.

c) Đổi cơ số

Cho ba số thực dương a, b, c với a≠1$a\ne 1$. Khi đó: logab=logcblogca${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ hay logcb=logcalogab${\log }_{c}b={\log }_{c}a{\log }_{a}b$.

Lưu ý:

 - Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có logab=1logba${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ hay logab.logba=1${\log }_{a}b.{\log }_{b}a=1$.

- Với a là một số dương khác 1, b là số thực dương và α≠0$\alpha \ne 0$, ta có logaα=1αlogab${\log }_{a^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b$.

3. Một số ứng dụng trong thực tế

a) Độ mạnh của động đất

R=logAA0$R=\log \frac{A}{A_0}$ (độ Richter).

b) Độ pH trong hóa học

pH=−log[H+]$pH=-\log \left[H^{+}\right]$.

 

B. Bài tập

Bài 1: Tính:

a) log28${\log }_{2}8$.

b) log124${\log }_{\frac{1}{2}}4$.

c) log3127${\log }_3\frac{1}{27}$.

Giải:

a) log28=3${\log }_{2}8=3$ vì 23=8$2^3=8$.

b) log124=−2${\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$ vì (12)−2=4${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$.

c) log3127=−3${\log }_3\frac{1}{27}=-3$ vì 3−3=127$3^{-3}=\frac{1}{27}$.

Bài 2: Tính:

a) 32log35$3^{2{\log }_{3}5}$.

b) log12√18${\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{8}}$.

Giải:

a) 32log35=(3log35)2=52=25$3^{2{\log }_{3}5}=(3^{{\log }_{3}5}{)}^2=5^2=25$.

b) log12√18=log12(12)32=32${\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{8}}={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$.

Bài 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính các giá trị biểu thức sau:

a) A=log63+log612$A={\log }_{6}3+{\log }_{6}12$.

b) B=log721−log7147$B={\log }_{7}21-{\log }_{7}147$.

Giải:

a) A=log63+log612$A={\log }_{6}3+{\log }_{6}12$

=log6(3.12)=log6(36)=2$={\log }_6\left(3.12\right)={\log }_6\left(36\right)=2$.

b) B=log721−log7147=log721147$B={\log }_{7}21-{\log }_{7}147={\log }_7\frac{21}{147}$

=log717=log77−1=−1$={\log }_7\frac{1}{7}={\log }_7{7}^{-1}=-1$.

Bài 4: Cho a=log3x$a={\log }_{3}x$; b=log3y$b={\log }_{3}y$; c=log3z$c={\log }_{3}z$. Tính log3(3√xy2.z4)${\log }_3\left(\frac{\sqrt[3]{3x}}{y^2.z^4}\right)$ theo a, b, c.

Giải:

log3(3√xy2.z4)=log33√x−(log3y2+log3z4)${\log }_3\left(\frac{\sqrt[3]{3x}}{y^2.z^4}\right)={\log }_3\sqrt[3]{3x}-({\log }_3{y}^2+{\log }_3{z}^4)$

=13log3x−(2log3y+4log3z)=13a−2b−4c$=\frac{1}{3}{\log }_{3}x-(2{\log }_{3}y+4{\log }_{3}z)=\frac{1}{3}a-2b-4c$.

Bài 5:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức log14(log34.log23)${\log }_{\frac{1}{4}}\left({\log }_{3}4.{\log }_{2}3\right)$.

b) Cho α=log345$\alpha ={\log }_{3}45$. Tính log455${\log }_{45}5$ theo a.

Giải:

a) log14(log34.log23)=log14(2log32.log23)${\log }_{\frac{1}{4}}\left({\log }_{3}4.{\log }_{2}3\right)={\log }_{\frac{1}{4}}\left(2{\log }_{3}2.{\log }_{2}3\right)$

=log142=log2−22=−12$={\log }_{\frac{1}{4}}2={\log }_{2^{-2}}2=-\frac{1}{2}$.

b) Ta có α=log345=log3(32.5)$\alpha ={\log }_{3}45={\log }_3\left(3^2.5\right)$

=2log33+log35=2+log35$=2{\log }_{3}3+{\log }_{3}5=2+{\log }_{3}5$.

Suy ra log35=α−2${\log }_{3}5=\alpha -2$. Vậy log455=log35log345=α−2α${\log }_{45}5=\frac{{\log }_{3}5}{{\log }_{3}45}=\frac{\alpha -2}{\alpha }$.