Lý thuyết Lũy thừa

A. Lý thuyết

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương. - Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. $a^n=a.a...a$ (n thừa số a). - Với $a\ne 0$: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Trong biểu thức $a^n$, ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.

Lưu ý:

- Với $a\ne 0$ thì $a^0=1$.

- $0^0$ với $0^{-n}$ với $n\in N$ không có nghĩa.

Cho a, b là các số thực khác 0 và với các số nguyên m, n, ta có: +) $a^m.a^n=a^{m+n}$ +) $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ +) $(a^m{)}^n=a^{m.n}$ +) $(a.b{)}^m=a^m.b^m$ +) ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$

2. Lúy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực b và số nguyên dương n $(n\ge 2)$. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^n=b$.

Lưu ý:

- Với n lẻ và $b\in R$, có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{nb}$.

- Với n chẵn và:

+ b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: Có hai căn bậc n trái dấu, giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{nb}$ và giá trị âm kí hiệu là $-\sqrt[n]{nb}$.

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in Z$, $n\in N$, $n\ge 2$. Lũy thừa của số a với số mũ r, kí hiệu $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{n{a}^m}$.

Lưu ý : $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{na}$ với a > 0 và $n\in N$, $n\ge 2$.

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho số thực a dương và số vô tỉ $\alpha$, trong đó $\alpha =\underset{x\to +\infty }{lim}{r}_n$ với $\left(r_n\right)$ là một dãy số hữu tỉ. Giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ gọi là lũy thừa của số a với số mũ $\alpha$, kí hiệu $a^{\alpha }$. $a^{\alpha }=\underset{x\to +\infty }{lim}{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{x\to +\infty }{lim}{r}_n$.

Lưu ý:

 - Từ định nghĩa, ta có $1^{\alpha }=1$ $(\alpha \in R)$.

- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số khác 0.

- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

Lũy thừa với số mũ thực dương có các tính chất tương tự lũy thừa vơi số mũ nguyên.

 

B. Bài tập

Bài 1:

a) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn giá trị biểu thức:

$A={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-10}{.27}^{-3}+(0,2{)}^{-4}{.25}^{-2}{.128}^{-1}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-9}$.

b) Rút gọn biểu thức: $B=\left[\frac{a\sqrt{2}}{{(1+a^2)}^{-1}}-\frac{2\sqrt{2}}{a^{-1}}\right].\frac{a^{-1}}{1-a^{-2}}$ $(a\ne 0,a\ne 1,a\ne -1)$.

Giải:

a) $A=(3^{-1}{)}^{-10}.(3^3{)}^{-3}+(5^{-1}{)}^{-4}.(5^2{)}^{-2}+(2^7{)}^{-1}.(2^{-1}{)}^{-9}$

$=3^{10}{.3}^{-9}+5^4{.5}^{-4}+2^{-7}{.2}^9$

$=3^1+5^0+2^2=8$.

b) $B=\left[a\sqrt{2}(1+a^2)-2\sqrt{2}a\right].\frac{1}{a^3(1-a^{-2})}$

$=(a\sqrt{2}+a^3\sqrt{2}-2a\sqrt{2}).\frac{1}{a^3-a}$

$=a\sqrt{2}(a^2-1).\frac{1}{a(a^2-1)}=\sqrt{2}$.

Bài 2:

a) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức $A={\left(\frac{1}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}+9^{-\frac{3}{2}}$.

b) Rút gọn biểu thức $C=\frac{x^{\frac{6}{5}}y+x{y}^{\frac{6}{5}}}{\sqrt[5]{5x}+\sqrt[5]{5y}}$ (x > 0, y > 0).

Giải:

a) Ta có ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$; $9^{-\frac{3}{2}}=\sqrt{9^{-3}}=\sqrt{\frac{1}{9^3}}={\left(\sqrt{\frac{1}{9}}\right)}^3=\frac{1}{27}$.

Vậy $A={\left(\frac{1}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}+9^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{27}=\frac{10}{27}$.

b) Với x, y là các số dương, theo định nghĩa, ta có $C=\frac{xy\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)}{x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}}=xy$.

Bài 3: Rút gọn biểu thức $E=\frac{a^{\sqrt{5}+1}.a^{2-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{7}-3}\right)}^{\sqrt{7}+3}}$ (a > 0).

Giải:

$E=\frac{a^{\sqrt{5}+1+2-\sqrt{5}}}{{a^{(\sqrt{7}-3)(}}^{\sqrt{7}+3)}}=\frac{a^3}{a^{-2}}=a^5$.