Lý thuyết Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cánh Diều

1. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn $\left[a;b\right]$ thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

- Kí hiệu $F\left(x\right){|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ và đọc là $F\left(x\right)$ thế cận từ $a$ đến $b$.

Vậy ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(x\right){|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Gọi: ${\int }_a^b$ là dấu tích phân; $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên; $f\left(x\right)dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $f\left(x\right)$ là hàm số dưới dấu tích phân.

- Ta quy ước: ${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=0$; ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$.

- Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(t\right)dt$.

2. Tính chất của tích phân

Cho các hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số). $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b).

 3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

a) Tích phân của hàm số lũy thừa

Với $\alpha \ne -1$, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$.

b) Tích phân của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\ln \left|x\right||}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

c) Tích phân của hàm số lượng giác

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=-\cos x_a^b=-\cos b-(-\cos a)=\cos a-\cos b$. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\sin x|}_a^b=\sin b-\sin a$. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={-\cot x|}_a^b=-\cot b-(-\cot a)=\cot a-\cot b$. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\tan x|}_a^b=\tan b-\tan a$.

d) Tích phân của hàm số mũ

Với $a>0,a\ne 1$, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\frac{a^x}{\ln a}|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$.