Lý thuyết Mệnh đề

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

a. Mệnh đề

Định nghĩa:

Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là những câu nói, khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

Ví dụ: “Một tuần có 7 ngày” là một mệnh đề (đúng).

“Số 23 không là số nguyên tố” là mệnh đề (sai).

Nhận xét:

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

=> Câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến thường không là mệnh đề.

Kí hiệu: Thường sử dụng các chữ cái P, Q, R, … để biểu thị các mệnh đề.

b. Mệnh đề chứa biến

Một câu chưa khẳng định được tính đúng sai, nhưng nếu cho biến một giá trị cụ thể thì câu đó cho ta một mệnh đề. Những câu như vậy được gọi là mệnh đề chứa biến.

Mệnh đề chứa biến chưa phải là mệnh đề, khi cho biến một giá trị cụ thể thì được một mệnh đề.

Ví dụ: P: “3n + 1 chia hết cho 5”.

Q: “x < 5”.

 

2. Mệnh đề phủ định

+ Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Kí hiệu $\overline{P}$ là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

+ Mệnh đề P và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau.

+ Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai, còn nếu P sai thì $\overline{P}$ đúng.

 

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

a. Mệnh đề kéo theo

+ Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu: $P\Rightarrow Q$.

+ Cách phát biểu định lí toán học dạng $P\Rightarrow Q$:

P là giả thiết của định lí, Q là kết luận của định lí.

P là điều kiện đủ để có Q.

Q là điều kiện cần để có P.

+ Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

b. Mệnh đề đảo

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

 

4. Mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương, kí hiệu: $P\iff Q$.

+ Mệnh đề tương đương $P\iff Q$ đúng nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.

+ Phát biểu: “P tương đương với Q”, “P là điều kiện cần và đủ để có Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”.

 

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall ,\exists$

Kí hiệu $\forall$ đọc là “với mọi”.

Kí hiệu $\exists$ đọc là “tồn tại”.

Ví dụ:

“Mọi số thực đều có bình phương lớn hơn 2” viết là: “$\forall x\in R|x^2>2$”.

“Có một số thực có bình phương nhỏ hơn 2” viết là: “$\exists x\in R|x^2<2$”.