Lý thuyết Mệnh đề toán học

I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

+) Mệnh đề toán học là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.

+) Mỗi mệnh đề toán học phải đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.

 

II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

+) Mệnh đề chứa biến là phát biểu chưa khẳng định được tính đúng sai của câu. Nhưng với mỗi giá trị cụ thể của biến, câu này cho ta một mệnh đề toán học mà ta có thể khẳng định được tính đúng sai của mệnh đề đó.

Ví dụ:  

“n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

P(n): “2n lớn hơn 10”, là một mệnh đề chứa biến.

 

III. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P, là mệnh đề “Không phải P” và kí hiệu là $\overline{P}$.

Ta thêm (hoặc bớt) “không phải” vào vị trí hợp lí để lập mệnh đề phủ định.

+) Mệnh đề $\overline{P}$ đúng khi P sai. Mệnh đề $\overline{P}$ sai khi P đúng.

 

IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

+) Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P\Rightarrow Q$.

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Mệnh đề kéo theo ($P\Rightarrow Q$) còn được phát biểu là: “P kéo theo Q”, “P suy ra Q”, “Vì P nên Q”.

+) Nhận xét: Các định lí toán học dạng $P\Rightarrow Q$, ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.

P là điều kiện đủ để có Q.

Q là điều kiện cần để có P.

 

V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

+) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$.

+) Nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng thì $P\iff Q$ (hai mệnh đề tương đương).

 

VI. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃ 

Cho mệnh đề “$P\left(x\right),x\in X$”.

+) Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in X,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\exists x\in X,\overline{P\left(x\right)}$”.

+) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in X,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\forall x\in X,\overline{P\left(x\right)}$”.