Lý thuyết Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số Toán 9 Cánh diều

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương:

Với mỗi biểu thức A, ta có: √A2=|A|$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$, tức là: √A2=|A|={AkhiA≥0−AkhiA<0$\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{c}AkhiA\ge 0\\ -AkhiA<0\end{array}$

Ví dụ:√(x−2)2=|x−2|={x−2khix≥22−xkhix≤2$\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}=\left|x-2\right|=\{\begin{array}{c}x-2khix\ge 2\\ 2-xkhix\le 2\end{array}$

2. Căn thức bậc hai của một tích

Quy tắc về căn thức bậc hai của một tích:

Với các biểu thức A, B không âm, ta có: √A.B=√A.√B$\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$.

Ví dụ:

√4a2=√4.√a2=2|a|$\sqrt{4a^2}=\sqrt{4}.\sqrt{a^2}=2\left|a\right|$;

√2a.√8a=√2a.8a=√16a2=√16.√a2=4|a|$\sqrt{2a}.\sqrt{8a}=\sqrt{2a.8a}=\sqrt{16a^2}=\sqrt{16}.\sqrt{a^2}=4\left|a\right|$.

3. Căn thức bậc hai của một thương

Quy tắc về căn bậc hai của một thương

Với các biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: √AB=√A√B$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ:

√4a225=√4a2√25=2|a|5$\sqrt{\frac{4a^2}{25}}=\frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{25}}=\frac{2\left|a\right|}{5}$;

√125a√5a=√125a5a=√25=5$\frac{\sqrt{125a}}{\sqrt{5a}}=\sqrt{\frac{125a}{5a}}=\sqrt{25}=5$.

4. Trục căn thức ở mẫu

Nhận xét: Phép biến đổi làm mất căn thức bậc hai ở mẫu thức của một biểu thức được gọi là trục căn thức ở mẫu của biểu thức đó.

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có A√B=A√BB$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$. - Với các biểu thức A, B, C mà B≥0,A2≠B$B\ge 0,A^2\ne B$, ta có: CA+√B=C(A−√B)A2−B;CA−√B=C(A+√B)A2−B$\frac{C}{A+\sqrt{B}}=\frac{C\left(A-\sqrt{B}\right)}{A^2-B};\frac{C}{A-\sqrt{B}}=\frac{C\left(A+\sqrt{B}\right)}{A^2-B}$. (A−√B$A-\sqrt{B}$ được gọi là biểu thức liên hợp của A+√B$A+\sqrt{B}$ và ngược lại). - Với các biểu thức A, B, C mà A≥0,B≥0,A≠B$A\ge 0,B\ge 0,A\ne B$, ta có: C√A+√B=C(√A−√B)A−B;C√A−√B=C(√A+√B)A−B$\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B};\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{A-B}$. (√A−√B$\sqrt{A}-\sqrt{B}$ được gọi là biểu thức liên hợp của √A+√B$\sqrt{A}+\sqrt{B}$ và ngược lại).

Ví dụ:

23√5=2√53(√5)2=2√53.5=2√515$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

a3−2√2=a(3+2√2)(3−2√2).(3+2√2)=a(3+2√2)32−(2√2)2=a(3+2√2)9−8=(3+2√2)a$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.