Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi $\int f\left(x\right)dx$ và viết $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+ $\int 0dx=C$ + $\int 1dx=x+C$ + $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ $(\alpha \ne -1)$

b) Nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$

$\int \frac{1}{x}x=\ln \left|x\right|+C$

c) Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

+ $\int \cos xdx=\sin x+C$ + $\int \sin xdx=\sin x+C$ + $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ + $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$

d) Nguyên hàm của hàm số mũ

+ $\int e^{x}dx=e^x+C$ + $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ $(0<a\ne 1)$

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

+ $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ $(k\ne 0)$ + $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$ + $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$