Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cùng khám phá

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + với C thuộc R là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

Ví dụ: Chứng minh $\int kdx=kx+C$ với k là hằng số khác 0.

Giải:

Ta có $(kx{)}^{\prime }=k$ nên $F\left(x\right)=kx$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=k$.

Vậy $\int kdx=kx+C$.

Nhận xét:

Ta có $\int 0dx=C$, $\int dx=\int 1dx=x+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+ $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \ne -1)$ + $\int \frac{1}{x}x=\ln \left|x\right|+C$

Ví dụ:

a) $\int x^{5}dx=\frac{1}{6}{x}^6+C$.

b) $\int x^{\sqrt{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}+1}{x}^{\sqrt{2}+1}+C$.

c) $\int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Nguyên hàm của hàm số mũ

+ $\int e^{x}dx=e^x+C$ + $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(0<a\ne 1)$

Ví dụ:

a) $\int 4^{x}dx=\frac{4^x}{\ln 4}+C$.

b) $\int e^{3x}dx=\int {\left(e^3\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln e^3}+C=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$.

c) $\int 2^x{.3}^{x}dx=\int 6^{x}dx=\frac{6^x}{\ln 6}+C$.

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

+ $\int \cos xdx=\sin x+C$ + $\int \sin xdx=-\cos x+C$ + $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ + $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$

Ví dụ:

a) $\int (1+{\tan }^{2}x)dx=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$.

b) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx, biết $F\left(2\pi \right)=0$.

Ta có $\int \sin xdx=-\cos x+C$.

F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx nên có dạng F(x) = -cosx + C.

Vì $F\left(2\pi \right)=0$ nên $-\cos 2\pi +C=0$ hay $-1+C=0$, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = 1 – cosx.

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K thì: + $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx(k\ne 0)$ + $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$ + $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

Ví dụ:

a) $\int 6x^{3}dx=6\int x^{3}dx=6.\frac{x^4}{4}+C=\frac{3}{2}{x}^4+C$.

b) $\int (3x^2-\cos x)dx=3\int x^{2}dx-\int \cos xdx=x^3-\sin x+C$.

c) $\int \left(\frac{2}{{\cos }^{2}x}-5^x\right)dx=2\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int 5^{x}dx=2\tan x-\frac{5^x}{\ln 5}+C$.