Lý thuyết Nhị thức Newton

A. Lý thuyết

1. Một số công thức khai triển

$(a + b)^{4}$

$= C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a^{1} b^{3} + C_{4}^{4} b^{4}$

$= a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a^{1} b^{3} + b^{4}$ .

$(a + b)^{5}$

$= C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} a b^{4} + C_{5}^{5} b^{5}$

= a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton $(a + b)^{n}$ ứng với n = 4 và n = 5.

2. Công thức khai triển tổng quát

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}

Nhận xét:

- Số hạng tổng quát trong khai triển của $(a + b)^{n}$ đều có dạng $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ $(0 \leq k \leq n)$ .

- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của $(a - b)^{n}$ như sau:

$(a - b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} - C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} - C_{n}^{3} a^{n - 3} b^{3} + . . .$ , ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

Ví dụ: $(a - b)^{3}$

$= C_{3}^{0} a^{3} - C_{3}^{1} a^{3 - 1} b + C_{3}^{2} a^{3 - 2} b^{2} - C_{3}^{3} a^{3 - 3} b^{3}$

$= C_{3}^{0} a^{3} - C_{3}^{1} a^{2} b + C_{3}^{2} a b^{2} - C_{3}^{3} b^{3}$ .

Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.

B. Bài tập

Bài 1: Khai triển biểu thức $(x + 1)^{4}$ .

Giải:

Xác định số hạng: a = x, b = 1.

$(x + 1)^{4}$

$= C_{4}^{0} x^{4} + C_{4}^{1} x^{3} .1 + C_{4}^{2} x^{2} {.1}^{2} + C_{4}^{3} x^{1} {.1}^{3} + C_{4}^{4} {.1}^{4}$

$= a^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$ .

Bài 2: Khai triển biểu thức $(x - 1)^{4}$ .

Giải:

Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.

Nếu coi a = x, b = -1:

$(x - 1)^{4}$

$= C_{4}^{0} x^{4} + C_{4}^{1} x^{3} . (- 1) + C_{4}^{2} x^{2} . (- 1)^{2} + C_{4}^{3} x^{1} . (- 1)^{3} + C_{4}^{4} . (- 1)^{4}$

$= a^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ .

Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:

$(a - b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} - C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} - C_{n}^{3} a^{n - 3} b^{3} + . . .$ , khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).

Bài 3:

a) Khai triển biểu thức $(x - 2 y)^{4}$ và tìm hệ số của số hạng chứa $y^{4}$ .

b) Khai triển biểu thức $(3 x - y)^{5}$ .

Giải:

a) Coi a = x, b = -2y.

$(x - 2 y)^{4} = {[x + (- 2 y)]}^{4}$

$= x^{4} + 4 x^{3} (- 2 y) + 6 x^{2} (- 2 y)^{2} + 4 x (- 2 y)^{3} + (- 2 y)^{4}$

$= x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + 16 y^{4}$ .

Số hạng chứa $y^{4}$ là $16 y^{4}$ , hệ số là 16.

b) Coi a = 3x, b = -y.

$(3 x - y)^{5} = {[3 x + (- y)]}^{5}$

$= {(3 x)}^{5} + 5. (3 x)^{4} . (- y) + 10 (3 x)^{3} . (- y)^{2} + 10 (3 x)^{2} . (- y)^{3} + 5. (3 x) . (- y)^{4} + (- y)^{5}$

$= 243 x^{5} - 405 x^{4} y + 270 x^{3} y^{2} - 90 x^{2} y^{3} + 15 x y^{4} - y^{5}$ .

Bài 4:

a) Xác định hệ số của $x^{6}$ trong khai triển ${(2 x + 1)}^{12}$ .

b) Xác định hệ số của $x^{9}$ trong khai triển ${(3 x - 2)}^{18}$ .

Giải:

a) Số hạng chứa $x^{6}$ là $C_{12}^{6} . {(2 x)}^{6} = C_{12}^{6} {.2}^{6} x^{6}$ . Hệ số của $x^{6}$ là $C_{12}^{6} {.2}^{6}$ .

b) Số hạng chứa $x^{9}$ là $C_{18}^{9} . {(3 x)}^{9} . (- 2)^{9} = C_{18}^{9} . (- 2)^{9} 3^{9} x^{9} = - C_{18}^{9} {.2}^{9} 3^{9} x^{9}$ . Hệ số của $x^{9}$ là $- C_{18}^{9} {.2}^{9} 3^{9} = - C_{18}^{9} {.6}^{9}$ .