Lý thuyết Nhị thức Newton

A. Lý thuyết

1. Một số công thức khai triển

$(a+b{)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^3{a}^1{b}^3+C_4^4{b}^4$ $=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a^1{b}^3+b^4$.   $(a+b{)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ $=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$.

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton $(a+b{)}^n$ ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton $(a+b{)}^n$ với n = 0; 1; 2; 3;… được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số dưới đây. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũ tên trên bảng). Bảng số này được gọi là tam giác Pascal.

2. Công thức khai triển tổng quát

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$.

Nhận xét:

- Số hạng tổng quát trong khai triển của $(a+b{)}^n$ đều có dạng $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ $(0\le k\le n)$.

- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của $(a-b{)}^n$ như sau:

$(a-b{)}^n=C_n^0{a}^n-C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2-C_n^3{a}^{n-3}{b}^3+...$, ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

Ví dụ: $(a-b{)}^3=C_3^0{a}^3-C_3^1{a}^{3-1}b+C_3^2{a}^{3-2}{b}^2-C_3^3{a}^{3-3}{b}^3$

$=C_3^0{a}^3-C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2-C_3^3{b}^3$.

Có thể xem thêm trong Chuyên đề học tập Toán 10.

 

B. Bài tập

Bài 1: Khai triển biểu thức $(x+1{)}^4$.

Giải:

Xác định số hạng: a = x, b = 1.

$(x+1{)}^4=C_4^0{x}^4+C_4^1{x}^3.1+C_4^2{x}^2{.1}^2+C_4^3{x}^1{.1}^3+C_4^4{.1}^4$

$=a^4+4x^3+6x^2+4x+1$.

Bài 2: Khai triển biểu thức $(x-1{)}^4$.

Giải:

Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.

Nếu coi a = x, b = -1:

$(x-1{)}^4=C_4^0{x}^4+C_4^1{x}^3.(-1)+C_4^2{x}^2.(-1{)}^2+C_4^3{x}^1.(-1{)}^3+C_4^4.(-1{)}^4$

$=a^4-4x^3+6x^2-4x+1$.

Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:

$(a-b{)}^n=C_n^0{a}^n-C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2-C_n^3{a}^{n-3}{b}^3+...$, khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).

Bài 3:

a) Khai triển biểu thức $(x-2y{)}^4$ và tìm hệ số của số hạng chứa $y^4$.

b) Khai triển biểu thức $(3x-y{)}^5$.

Giải:

a) Coi a = x, b = -2y.

$(x-2y{)}^4={\left[x+(-2y)\right]}^4=x^4+4x^3(-2y)+6x^2(-2y{)}^2+4x(-2y{)}^3+(-2y{)}^4$

$=x^4-8x^{3}y+24x^2{y}^2-32x{y}^3+16y^4$.

Số hạng chứa $y^4$ là $16y^4$, hệ số là 16.

b) Coi a = 3x, b = -y.

$(3x-y{)}^5={\left[3x+(-y)\right]}^5$

$={\left(3x\right)}^5+5.(3x{)}^4.(-y)+10(3x{)}^3.(-y{)}^2+10(3x{)}^2.(-y{)}^3+5.\left(3x\right).(-y{)}^4+(-y{)}^5$

$=243x^5-405x^{4}y+270x^3{y}^2-90x^2{y}^3+15x{y}^4-y^5$.

Bài 4:

a) Xác định hệ số của $x^6$ trong khai triển ${\left(2x+1\right)}^{12}$.

b) Xác định hệ số của $x^9$ trong khai triển ${\left(3x-2\right)}^{18}$.

Giải:

a) Số hạng chứa $x^6$ là $C_{12}^6.{\left(2x\right)}^6=C_{12}^6{.2}^6{x}^6$. Hệ số của $x^6$ là $C_{12}^6{.2}^6$.

b) Số hạng chứa $x^9$ là $C_{18}^9.{\left(3x\right)}^9.(-2{)}^9=C_{18}^9.(-2{)}^9{3}^9{x}^9=-C_{18}^9{.2}^9{3}^9{x}^9$. Hệ số của $x^9$ là $-C_{18}^9{.2}^9{3}^9=-C_{18}^9{.6}^9$.

Bài 5: Cho tập hợp A = { a; b; c; d; e }. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?

Giải:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử (1 ≤ k ≤ 5) là một tổ hợp chập k của A. Do đó, số tập con như vậy bằng $C_5^k$. Mặt khác, có một tập con của A không có phần tử nào (tập rỗng), tức có $C_5^0=1$ tập con như vậy. Do đó, số tập con của A bằng $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5$.
Theo công thức nhị thức Newton, ta có $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=(1+1{)}^5=2^5$.

Vậy A có $2^5=32$ tập con.