Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Hằng đẳng thức

Cho hai biểu thức đại số A và B có cùng các biến. Nếu giá trị của A và giá trị của B luôn bằng nhau tại mọi giá trị của các biến thì ta có một hằng đẳng thức A = B(hay đồng nhất thức)

Ví dụ: $a + b = b + a; a (a + 2) = a^{2} + 2 a$ là những hằng đẳng thức.

$a^{2} - 1 = 3 a; a (a - 1) = 2 a$ không phải là những hằng đẳng thức.

2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Ví dụ: $101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2.100.1 + 1^{2} = 10201$

+ Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Ví dụ: $99^{2} = (100 - 1)^{2} = 100^{2} - 2.100.1 + 1^{2} = 9801$

+ Hiệu hai bình phương

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Ví dụ: $101^{2} - 99^{2} = (101 - 99) (101 + 99) = 2.200 = 400$

+ Lập phương của một tổng

${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

Ví dụ: ${(x + 3)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} .3 + 3 x {.3}^{2} + 3^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

+ Lập phương của một hiệu

${(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Ví dụ: ${(x - 3)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} .3 + 3 x {.3}^{2} - 3^{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

+ Tổng hai lập phương

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

Ví dụ: $x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

+ Hiệu hai lập phương

$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Ví dụ: $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$