Lý thuyết Phân thức đại số

1. Khái niệm

Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{P}{Q}$, trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức đại số.

Ví dụ: $\frac{2x+1}{x-3};\frac{ab}{a+b};x^2+3x+2;\sqrt{2}$ là các phân thức đại số.

$\sqrt{x};\sqrt[3]{3x}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{x};\sqrt[3]{3x}$ không phải là đa thức.

Hai phân thức bằng nhau 

Ta nói hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu A.D = B.C. Khi đó, ta viết

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$.

Ví dụ: Hai phân thức $\frac{x{y}^2}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$ bằng nhau.

2. Tính chất

Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.C}{B.C}$ (C là một đa thức khác đa thức không).

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:D}{B:D}$ (D là một đa thức nhân tử chung).

Ví dụ: Để biến đổi phân thức $\frac{x-y}{y^2-x^2}$ thành $\frac{-1}{x+y}$, ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x-y}{y^2-x^2}$ cho y – x, khi đó $\frac{x-y}{y^2-x^2}=\frac{-(y-x)}{(y-x)(y+x)}=\frac{-1}{x+y}$

3. Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2. Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ: $\frac{x-y}{y^2-x^2}=\frac{-(y-x)}{(y-x)(y+x)}=\frac{-1}{x+y}$

4. Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức

Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Tìm mẫu thức chung:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2. Chọn mẫu thức chung.

Quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tìm MTC

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{x^2+x}$ và $\frac{1}{x^2-x}$

MTC là:

Ta có: $\left[x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\right]:\left[x(x+1)\right]=x-1;\left[x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\right]:\left[x(x-1)\right]=x+1$

Khi đó: $\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)};\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}$

5. Điều kiện xác định, giá trị của phân thức đại số

Xác định điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Giá trị của phân thức đại số

Cho phân thức đại số $\frac{A}{B}$. Giá trị của biểu thức $\frac{A}{B}$ tại những giá trị cho trước của các biến để giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức $\frac{A}{B}$ tại những giá trị cho trước của biến đó.

Ví dụ: Phân thức P = $\frac{x+3}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0$hay $x\ne 1$

Tại x = 3, $P=\frac{3+3}{3-1}=\frac{6}{2}=3$