Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ:

$\begin{array}{c}\frac{x+y}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{x+y+x-y}{xy}=\frac{2x}{xy}=\frac{2}{y}\\ \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}\end{array}$

2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\frac{-C}{D}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B};\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$, trong đó $\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}$ là các phân thức bất kì.

Ví dụ:

$\begin{array}{c}\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^2-y^2}-\frac{y}{x+y}\\ =\frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)}+\frac{2xy}{(x+y)(x-y)}-\frac{y(x-y)}{(x+y)(x-y)}\\ =\frac{x^2-xy+2xy-xy+y^2}{(x+y)(x-y)}\\ =\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\end{array}$

5. Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc

- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-“ thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.