Lý thuyết Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên Toán 6 Chân trời sáng tạo

I. Nhân hai số nguyên

1.Nhân hai số nguyên khác dấu

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, ta có:

$\left(+a\right).\left(-b\right)=-a.b$

$\left(-a\right).\left(+b\right)=-a.b$

Ví dụ:

a) $(-20).5=-\left(20.5\right)=-100.$

b) $15.\left(-10\right)=-\left(15.10\right)=-150.$

c) $20.\left(+50\right)+4.\left(-40\right)=1000-\left(4.40\right)=1000-160=840.$

2.Nhân hai số nguyên cùng dấu

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Nhận xét:

- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, ta có:

$\left(-a\right).\left(-b\right)=(+a).(+a)=a.b$

$\left(-a\right).\left(+b\right)=-a.b$

Ví dụ:

a) $(-4).(-15)=4.15=60$

b) $\left(+2\right).(+5)=2.5=10$.

II. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Nhận xét:

Trong một tích nhiều thừa số ta có thể:

- Đổi chỗ hai thừa số tùy ý.

- Dùng dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý:

Chú ý:

+) $a.1=1.a=a$

+) $a.0=0.a=0$

+) Cho hai số nguyên $x,y$:

Nếu $x.y=0$ thì $x=0$ hoặc $y=0$.

Ví dụ 1:

a) $\left(-3\right).5=5.\left(-3\right)=-15$

b) $\left[\left(-2\right).7\right].\left(-3\right)=\left(-2\right).\left[7.\left(-3\right)\right]=\left(-2\right).\left(-21\right)=42$

c) $\left(-5\right).12+\left(-5\right).88=\left(-5\right).\left(12+88\right)=\left(-5\right).100=-500$.

d) $\left(-9\right).36-(-9).26=\left(-9\right).\left(36-26\right)=\left(-9\right).10=-90$

Ví dụ 2:

Nếu $\left(x-1\right)\left(x+5\right)=0$ thì $x-1=0$ hoặc $x+5=0$.

Suy ra $x=1$ hoặc $x=-5$.

III. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

1.Phép chia hết

Ví dụ:

$(-15)=3.(-5)$ nên ta nói:

+) $-15$ chia hết cho $(-5)$

+) $-15:(-5)=3$

+) $3$ là thương của phép chia $-15$ cho $-5$.

2.Phép chia hai số nguyên khác dấu

Ví dụ:

1. a) $(-27):3=-\left(27:3\right)=-9$.
2. b) $36:\left(-9\right)=-\left(36:9\right)=-4$

3. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.

Chú ý:

Cách nhận biết dấu của thương:

$\begin{array}{c}(+):(+)=(+)\\ (-):(-)=(+)\\ (-):(+)=(-)\\ (+):(-)=(-)\end{array}$

Ví dụ:

1. a) $(-36):(-4)=36:4=9$
2. b) $\left(-35\right):(-7)=35:7=5$.

IV. Bội và ước của một số nguyên

Nhận xét:

- Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b$.

- Nếu $b$ là ước của $a$ thì $-b$ cũng là ước của $a$.

Chú ý: Khi $c$ vừa là ước của $a$, vừa là ước của $b$ thì $c$ được gọi là ước chung của $a$ và $b$.

Kí hiệu ước chung của hai số nguyên $a,b$ là ƯC(a, b).

Ví dụ 1:

a) $5$ là một ước của $-30$ vì $\left(-30\right)⋮5$.

b) $-42$ là một bội của $-7$ vì $\left(-42\right)⋮\left(-7\right)$.

Ví dụ 2:

a) Các ước của 4 là: $1;-1;2;-2;4;-4$.

b) Các bội của 8 là: $0;8;-8;16;-16;...$

Ví dụ 3:

Ta thấy $1;-1;2;-2$ vừa là ước của $6$, vừa là ước của $4$ nên chúng gọi là ước chung của $6$ và $4$.

Khi đó ta viết: ƯC(6; 4)={1;-1;2;-2}.