Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân thức đại số

1. Nhân hai phân thức

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$

Chú ý:  Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích dưới dạng rút gọn.

2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B}$

- Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}\right).\frac{E}{F}=\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}.\frac{E}{F}\right)$

- Tính chất phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)=\frac{A}{B}.\frac{C}{D}+\frac{A}{B}.\frac{E}{F}$

Ví dụ:

$\frac{2xz}{3y}.\frac{-6y^3}{8x^{2}z}=\frac{2xz.(-6y^3)}{3y.8x^{2}z}=\frac{-y^2}{2x}$;

$\frac{x^2-1}{x^2+4x}.\frac{2x}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1).2x}{x(x+4)(x-1)}=\frac{2(x+1)}{x+4}$

3. Chia hai phân thức

Quy tắc: Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}$:        

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}$, với $\frac{C}{D}\ne 0$.

Nhận xét: $\frac{C}{D}.\frac{D}{C}=1.$ Ta nói $\frac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của  $\frac{C}{D}$.

Ví dụ:

1)

$\frac{x^2-9}{x-2}:\frac{x-3}{x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-2}.\frac{x}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3).x}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{x-2}$

2)

$\frac{x}{z^2}.\frac{xz}{y^3}:\frac{x^3}{yz}=\frac{x}{z^2}.\frac{xz}{y^3}.\frac{yz}{x^3}=\frac{x.xz.yz}{z^2.y^3.x^3}=\frac{x^{2}y{z}^2}{x^3{y}^3{z}^2}=\frac{1}{x{y}^2}$