Lý thuyết Phép tính lôgarit - Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương a, b với $a\ne 1$. Số thực $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức $a^{\alpha }=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log }_{a}b$.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$.

Chú ý:

Từ định nghĩa, ta có:

• ${\log }_{a}1=0;{\log }_{a}a=1$; ${\log }_a{a}^b=b$; $a^{{\log }_{a}b}=b$.
• ${\log }_{10}b$ được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$, còn được gọi là lôgarit thập phân. 
• ${\log }_{e}b$ được viết là $\ln b$, còn được gọi là lôgarit tự nhiên.

2. Tính chất

Với $a>0,a\ne 1,M>0,N>0$, ta có:

• ${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ (lôgarit của một tích).
• ${\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$ (lôgarit của một thương).
• ${\log }_a{M}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}M\left(\alpha \in R\right)$ (lôgarit của một lũy thừa).

Chú ý: Đặc biệt, ta có:

• ${\log }_a\frac{1}{N}=-{\log }_{a}N$;
• ${\log }_a\sqrt[n]{nM}=\frac{1}{n}{\log }_{a}M$ với $n\in N^{\ast }$.

3. Công thức đổi cơ số

Cho các số dương a, b, N, $a\ne 1,b\ne 1$, ta có:

${\log }_{a}N=\frac{{\log }_{b}N}{{\log }_{b}a}$.

Đặc biệt, ta có:

${\log }_{a}N=\frac{1}{{\log }_{N}a}\left(N\ne 1\right)$;

${\log }_{a^{\alpha }}N=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}N\left(\alpha \ne 0\right)$.