Lý thuyết Phép tính lũy thừa - Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

$a^{n} = \underset{n t h ừ a s ố}{\underset{⏟}{a . a . a . . . a}}$ $(a \in R, n \in N *)$ .

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ ; $a^{0} = 1$ $(n \in N *, a \in R, a \neq 0)$ .

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n \geq 2$ .

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$ .

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ .

+ Nếu n chẵn thì:

b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $- \sqrt[n]{b}$ .

+ Các tính chất:

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$ .
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ .
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$ .

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có:

$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

4. Lũy thừa với số mũ thực

Giới hạn của dãy số $(a^{r_{n}})$ được gọi là lũy thừa của số thực dương a với số mũ $α$ , kí hiệu là $a^{α}$ .

$a^{α} = lim_{x \to + \infty} a^{r_{n}}$ với $α = lim_{x \to + \infty} r_{n}$ .

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $α; β$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β}; \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β}; \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α β}; \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α}; \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} . \end{array}$