Lý thuyết Phép tính lũy thừa - Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

$a^n=\underset{nthừasố}{\underset{}{a.a.a...a}}$ $\left(a\in R,n\in N\ast \right)$.

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$; $a^0=1$ $\left(n\in N\ast ,a\in R,a\ne 0\right)$.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n\ge 2$.

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^n=b$.

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{nb}$.

+ Nếu n chẵn thì:

• b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
• b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
• b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{nb}$ và giá trị âm là $-\sqrt[n]{nb}$.

+ Các tính chất:

• $\sqrt[n]{na}.\sqrt[n]{nb}=\sqrt[n]{nab}$.
• $\frac{\sqrt[n]{na}}{\sqrt[n]{nb}}=\sqrt[n]{n\frac{a}{b}}$.
• ${\left(\sqrt[n]{na}\right)}^m=\sqrt[n]{n{a}^m}$.
• $\sqrt[m]{m\sqrt[n]{na}}=\sqrt[mn]{mna}$.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n\in Z,n>0$. Ta có:

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{n{a}^m}$.

4. Lũy thừa với số mũ thực

Giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ được gọi là lũy thừa của số thực dương a với số mũ $\alpha$, kí hiệu là $a^{\alpha }$.

$a^{\alpha }=\underset{x\to +\infty }{lim}{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{x\to +\infty }{lim}{r}_n$.

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $\alpha ;\beta$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{c}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta };\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}.\end{array}$