Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn Toán 9 Cùng khám phá

1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình dạng $a{x}^2+bx+c=0$ với a, b, c là ba số đã cho và $a\ne 0$, được gọi là phương trình bậc hai một ẩn (ẩn số là x) hay còn nói gọn là phương trình bậc hai.

Ví dụ: Phương trình $2x^2-3x+1=0$ là phương trình bậc hai với $a=2;b=-3;c=1$.

Phương trình $x^2-3=0$ là phương trình bậc hai với $a=1,b=0,c=-3$.

Phương trình $0x^2-2x-3=0$ không là phương trình bậc hai vì $a=0$.

2. Một số cách giải phương trình bậc hai

Ta có thể giải phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ theo các cách sau: - Đưa về phương trình tích - Biến đổi vế trái của phương trình về dạng $a{\left(x+h\right)}^2=k$ với h, k là các hằng số.

Ví dụ 1: Giải phương trình $2x^2-4x=0$

Ta có:

$\begin{array}{c}2x^2-4x=0\\ 2x\left(x-2\right)=0\end{array}$

$x=0$ hoặc $x-2=0$

$x=0$ hoặc $x=2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0,x_2=2$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2-4x=1$

Ta có:

$\begin{array}{c}{x}^2-4x=5\\ x^2-4x+4=5+4\\ {\left(x-2\right)}^2=9\end{array}$

$x-2=3$ hoặc $x-2=-3$

suy ra $x=5$ hoặc $x=-1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=5,x_2=-1$.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ và $\Delta =b^2-4ac$. - Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$. - Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$. - Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $x^2-7x-8=0$.

Ta có: $a=1,b=-7,c=-8$.

$\Delta =b^2-4ac={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-8\right)=81>0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{81}}{2.1}=8;x_2=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{81}}{2.1}=-1$.

Lưu ý: Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có $ac<0$ (a và c trái dấu) thì $\Delta =b^2-4ac>0$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Phương trình $x^2+3572x-3573=0$ có $a=1>0,c=-3573<0$, suy ra a và c trái dấu.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có $b=2b^{\prime }$, ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$. - Nếu ${\Delta }^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a};x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$. - Nếu ${\Delta }^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b^{\prime }}{a}$. - Nếu ${\Delta }^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $7x^2-12x+5=0$.

Ta có: $a=7,b^{\prime }=-6,c=5$.

${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={\left(-6\right)}^2-7.5=1>0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-6\right)+1}{7}=1;x_2=\frac{-\left(-6\right)-1}{7}=\frac{5}{7}$.

3. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dạng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai.

Bước 1. Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU).

- Đối với máy Fx-570VN PLUS, ta bấm phím MODE rồi bấm phím 5 rồi bấm phím 3 để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.

- Đối với máy Fx-580VNX, ta bấm MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 2 để chọn Polynomial Degree

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải phương trình bậc hai

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a,b,c$ bằng cách bấm

Đối với phương trình bậc hai có nghiệm kép, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau:

Đối với phương trình bậc hai vô nghiệm, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau: