Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Cánh diều

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng $ax+by=c$, trong đó a, b và c là các số cho trước, $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$.

Ví dụ: $2x+3y=4$, $0x+2y=3$, $x+0y=2$ là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: $ax+by=c$. Nếu $a{x}_0+b{y}_0=c$ là một khẳng định đúng thì cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của phương trình $ax+by=c$.

Ví dụ: Cặp số $(-1;2)$ là nghiệm của phương trình $2x+3y=4$ vì $2.\left(-1\right)+3.2=-2+6=4$.

Cặp số $(1;2)$ không là nghiệm của phương trình $2x+3y=4$ vì

$2.1+3.2=2+6=8\ne 4$.

Chú ý:

Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình $ax+by=c$ được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm $\left(x_0;y_0\right)$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $\left(x_0;y_0\right)$.

- Mỗi nghiệm của phương trình $ax+0y=c\left(a\ne 0\right)$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $\left(\frac{c}{a};y_0\right)$ $\left(y_0\in R\right)$ nằm trên đường thẳng $d_1:x=\frac{c}{a}$. Đường thẳng $d_1$ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{a}$ trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.

- Mỗi nghiệm của phương trình $0x+by=c\left(b\ne 0\right)$ được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(x_0;\frac{c}{b}\right)\left(x_0\in R\right)$ nằm trên đường thẳng $d_2:y=\frac{c}{b}$. Đường thẳng $d_2$ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{b}$ trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.

- Mỗi nghiệm của phương trình $ax+by=c\left(a\ne 0,b\ne 0\right)$ được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng $d_3:y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$.

Ví dụ:

Nghiệm của phương trình $-3x+y=2$ được biểu diễn bởi đường thẳng d: $y=3x+2$.

Nghiệm của phương trình $0x+y=-2$ được biểu diễn bởi đường thẳng d: $y=-2$ vuông góc với Oy tại điểm $M\left(0;-2\right)$.

Nghiệm của phương trình $2x+0y=3$ được biểu diễn bởi đường thẳng d: $x=1,5$ vuông góc với Ox tại điểm $N\left(1,5;0\right)$.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng: $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}\left(I\right)$, ở đó mỗi phương trình $ax+by=c$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ: Hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x-y=0\\ x+y=3\end{array}$, $\{\begin{array}{c}3x=1\\ x-y=3\end{array}$, $\{\begin{array}{c}4x-y=3\\ 3y=6\end{array}$ là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của hệ (I). Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x-y=0\\ x+y=3\end{array}$, vì:

$2x-y=2.1-2=0$ nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.

$x+y=1+2=3$ nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.