Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

1. Phương trình

Cho A(x), B(x) là hai biểu thức của biến x. Khi cần tìm x sao cho A(x) = B(x) thì ta nói A(x) = B(x) là một phương trình với ẩn x, A(x) là về trái, B(x) là vế phải của phương trình.

Ví dụ: $3x--1=2x+3;3x=5$ là các phương trình ẩn x.

Số $x_0$ là nghiệm của phương trình $A\left(x\right)=B\left(x\right)$nếu giá trị của A(x) và B(x) tại $x_0$ bằng nhau.

Ví dụ: $x=2$ là nghiệm của phương trình $2x=x+2$ vì thay $x=2$ vào phương trình, ta được 2.2 = 2 + 2

Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: $3x+6=0$

Ta có: $3x+6=0\iff 3x=-6\iff x=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2}

2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Khái niệm: Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn số là x).

Cách giải:

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 ($a\ne 0$) được giải như sau:

$\begin{array}{c}ax+b=0\\ ax=-b\\ x=-\frac{b}{a}\end{array}$

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 ($a\ne 0$) luôn có một nghiệm duy nhất là $x=-\frac{b}{a}$.

Ví dụ: Giải phương trình: $3x+11=0$

Ta có:

$\begin{array}{c}3x+11=0\\ 3x=-11\\ x=-\frac{11}{3}\end{array}$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x=-\frac{11}{3}$.

Nhận xét: Bằng cách tương tự như trên, ta có thể giải được phương trình dạng:

$ax+b=cx+d(a\ne c)$

Ví dụ: Giải phương trình: $7x--\left(2x+3\right)=5\left(x--2\right)$

$\begin{array}{c}11x--\left(2x+3\right)=6\left(x--2\right)\\ 11x-2x-3=6x-12\\ 11x-2x-6x=-12+3\\ 3x=-9\\ x=\frac{-9}{3}\\ x=-3\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = -3.

Lưu ý: Quá trình giải các phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.

3.  Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1. Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.