Lý thuyết Phương trình đường thẳng

A. Lý thuyết

1. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto $\overrightarrow{u}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và giá của vecto $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Nhận xét:

- Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u}$ $(k\ne 0)$ cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ $\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+at\end{array}$ ($a^2+b^2>0$ và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(a;b)$ làm vecto chỉ phương.

Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta$. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng $\Delta$, ta xác định được một giá trị cụ thể của t.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vecto pháp tuyến của đường thẳng

Vecto $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và giá của vecto $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\Delta$.

Nhận xét:

- Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}$ $(k\ne 0)$ cũng là một vecto pháp tuyến của $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Nếu đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì vecto $\overrightarrow{n}=(-b;a)$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình $ax+by+c=0$ (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét:

- Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\iff ax+by+(-a{x}_0-b{y}_0)=0$.

- Mỗi phương trình $ax+by+c=0$ (a và b không đồng thời bằng 0)  đều xác định một đường thẳng $\Delta$ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$.

c) Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

- Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi $a\ne 0$ và $b\ne 0$.

- Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.

3. Lập phương trình đường thẳng

Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:

– Đi qua một điểm cho trước và biết vecto pháp tuyến.

– Đi qua một điểm cho trước và biết vecto chỉ phương.

– Đi qua hai điểm cho trước.

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vecto chỉ phương

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(a;b)$ $(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0})$ làm vecto chỉ phương là $\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ (t là tham số). Nếu $a\ne 0$ và $b\ne 0$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ ở dạng: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$.

c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ nên nhận vecto $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\{\begin{array}{c}x=x_A+(x_B-x_A)t\\ y=y_A+(y_B-y_A)t\end{array}$ (t là tham số). Nếu $x_B-x_A\ne 0$ và $y_B-y_A\ne 0$ thì ta có thể viết phương trình đường thẳng $\Delta$ dưới dạng: $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$.

4. Phương trình đoạn chắn

Đường thẳng $\Delta$ cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ $(ab\ne 0)$.

 

B. Bài tập

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn:

a) Đi qua M(-2; -3) và có $\overrightarrow{n}=(2;5)$ là vecto pháp tuyến.

b) Đi qua M(3; -5) và có $\overrightarrow{u}=(2;-4)$ là vecto chỉ phương.

c) Đi qua A(-3; 4) và B(1; -1).

Giải:

a) Phương trình $\Delta$ là:

$2(x+2)+5(y+3)=0\iff 2x+5y+19=0$.

b) Phương trình $\Delta$ là:

$\frac{x-3}{2}=\frac{y+5}{-4}\iff 4x+2y-2=0\iff 2x+y-1=0$.

c) Phương trình $\Delta$ là:

$\frac{x+3}{1-(-3)}=\frac{y-4}{-1-4}\iff \frac{x+3}{4}=\frac{y-4}{-5}\iff 5x+4y-1=0$.