Lý thuyết Phương trình đường thẳng

A. Lý thuyết

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vecto pháp tuyến của đường thẳng

Vecto $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và giá của vecto $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\Delta$.

 

Nhận xét:

- Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}$ $(k\ne 0)$ cũng là một vecto pháp tuyến của $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax+by+c=0$ (a và b không đồng thời bằng 0). Ngược lại, mỗi phương trình dạng $ax+by+c=0$ (a và b không đồng thời bằng 0) đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\overrightarrow{n}(a;b)$ là một vecto pháp tuyến.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto $\overrightarrow{u}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và giá của vecto $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Nhận xét:

- Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u}$ $(k\ne 0)$ cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

- Hai vecto $\overrightarrow{n}(a;b)$ và $\overrightarrow{u}(-b;a)$ vuông góc với nhau nên nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;y_0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(a;b)$. Khi đó, điểm M(x; y) thuộc đường thẳng $\Delta$ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$, hay $\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$. Hệ trên được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$.

B. Bài tập

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn:

a) Đi qua M(-2;-3) và có $\overrightarrow{n}=(2;5)$ là vecto pháp tuyến.

b) Đi qua M(3;-5) và có $\overrightarrow{u}=(2;-4)$ là vecto chỉ phương.

c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).

Giải:

a) Phương trình $\Delta$ là $2(x+2)+5(y+3)=0\iff 2x+5y+19=0$.

b) Phương trình $\Delta$ là $\frac{x-3}{2}=\frac{y+5}{-4}\iff 4x+2y-2=0\iff 2x+y-1=0$.

c) Phương trình $\Delta$ là $\frac{x+3}{1-(-3)}=\frac{y-4}{-1-4}\iff \frac{x+3}{4}=\frac{y-4}{-5}\iff 5x+4y-1=0$.