Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều

1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto

\vec{u} \neq \vec{0}

được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng

Δ

nếu giá của

\vec{u}

song song hoặc trùng với

Δ

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình:

${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng

Δ

(t là tham số,

t \in R

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0.

Hệ phương trình

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{A_{1} A_{2}} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

- Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có phương trình tham số là ${\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases}$ $(t \in R)$ .

- Trong trường hợp

x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}, z_{1} \neq z_{2}

thì đường thẳng

A_{1} A_{2}

có phương trình chính tắc là:

\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{u_{2}} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Khi đó:

+ $Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

+ $Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

+ $Δ_{1}, Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} ⊥ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Δ_{1}, Δ_{2}

chéo nhau

\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0

3. Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, ta có:

\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u} (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n} (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi $(Δ, (P))$ là góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có:

\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}

c) Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng $(P_{1}), (P_{2})$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là $((P_{1}), (P_{2}))$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P_{1}), (P_{2})$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ , $\vec{n_{2}} (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ . Khi đó, ta có:

\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} . \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}