Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto

\vec{u} \neq \vec{0}

được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng

Δ

nếu giá của

\vec{u}

song song hoặc trùng với

Δ

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình:

${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng

Δ

(t là tham số,

t \in R

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0.

Hệ phương trình

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{A_{1} A_{2}} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

- Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có phương trình tham số là ${\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases}$ $(t \in R)$ .

- Trong trường hợp

x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}, z_{1} \neq z_{2}

thì đường thẳng

A_{1} A_{2}

có phương trình chính tắc là:

\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{u_{2}} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Khi đó:

+ $Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

+ $Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

+ $Δ_{1}, Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} ⊥ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Δ_{1}, Δ_{2}

chéo nhau

\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0

3. Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, ta có:

\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u} (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n} (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi $(Δ, (P))$ là góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có:

\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}

c) Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng $(P_{1}), (P_{2})$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là $((P_{1}), (P_{2}))$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P_{1}), (P_{2})$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ , $\vec{n_{2}} (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ . Khi đó, ta có:

\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} . \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}