Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Cùng khám phá

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với d.

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, đường thẳng d đi qua hai điểm A và C. Tìm bốn vecto có điểm đầu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đã cho và là vecto chỉ phương của d.

Giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$ có giá trị trùng với d, hai vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ có giá song song với d (do AC // A′C′).

Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$.

Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$. Hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d (t là tham số, $t\in R$).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;-1;2)$.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Trong hai điểm A(3; −3; 3) và B(1; −1; 1), điểm nào thuộc d?

Giải
a) Phương trình tham số của d là $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=-2-t\\ z=1+2t\end{array}$ $(t\in R)$.

b) Điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có giá trị t thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}_0=2+t\\ y_0=-2-t\\ z_0=1+2t\end{array}$.

Ta có:

Với A(3; −3; 3), ta xét $\{\begin{array}{c}3=2+t\\ -3=-2-t\\ 3=1+2t\end{array}$. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất t = 1 nên A thuộc đường thẳng d.

Với B(1; −1; 1), ta xét $\{\begin{array}{c}1=2+t\\ -1=-2-t\\ 1=1+2t\end{array}$. Hệ phương trình này vô nghiệm nên B không thuộc d.

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ với $a_1$, $a_2$, $a_3$ đều khác 0. Hệ phương trình $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d, biết:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2; −1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(-1;-4;3)$.

b) Đường thẳng d có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=2-t\\ y=-1+2t\\ z=3-3t\end{array}$ $(t\in R)$.

Giải:

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là $\frac{x-4}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{3}$.

b)

Cách 1: Từ phương trình tham số của d, ta có đồ thị qua điểm M(2; −1; 3) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(-1;2;-3)$.

Suy ra, phương trình chính tắc của d là $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-3}$.

Cách 2: Từ phương trình tham số của dd, tính theo x , y, z, ta có $\{\begin{array}{c}t=\frac{x-2}{-1}\\ t=\frac{y+1}{2}\\ t=\frac{z-3}{-3}\end{array}$.

Vậy $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-3}$. Đây là phương trình chính tắc của d.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$. + Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=x_A+(x_B-x_A)t\\ y=y_A+(y_B-y_A)t\\ z=z_A+(z_B-z_A)t\end{array}$ $(t\in R)$. + Nếu $x_A\ne x_B,y_A\ne y_B,z_A\ne z_B$ thì đường thẳng AB có phương trình chính tắc là: $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 2; -1) và B(3; -2; 2).

Giải:

Phương trình tham số của AB là:

$\{\begin{array}{c}x=4+(3-4)t\\ y=2+(-2-2)t\\ z=-1+(2+1)t\end{array}$ $(t\in R)$ hay $\{\begin{array}{c}x=4-t\\ y=2-4t\\ z=-1+3t\end{array}$ $(t\in R)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

$\frac{x-4}{3-4}=\frac{y-2}{-2-2}=\frac{z-(-1)}{2-(-1)}$ hay $\frac{x-4}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{3}$.

 

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

d: $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $M_0(x_0;y_0;z_0)\in d$;

d’: $\{\begin{array}{c}x={x_0}^{\prime }+{a_1}^{\prime }{t}^{\prime }\\ y={y_0}^{\prime }+{a_2}^{\prime }{t}^{\prime }\\ z={z_0}^{\prime }+{a_3}^{\prime }{t}^{\prime }\end{array}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=({a_1}^{\prime };{a_2}^{\prime };{a_3}^{\prime })$.

Khi đó:

+ d//d’ khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $M_0\notin d^{\prime }$. + d trùng d’ khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $M_0\in d^{\prime }$. + d cắt d’ khi và chỉ hệ phương trình ẩn t, t’ sau: $\{\begin{array}{c}{x}_0+a_{1}t={x_0}^{\prime }+{a_1}^{\prime }{t}^{\prime }\\ y_0+a_{2}t={y_0}^{\prime }+{a_2}^{\prime }{t}^{\prime }\\ z_0+a_{3}t={z_0}^{\prime }+{a_3}^{\prime }{t}^{\prime }\end{array}$ có đúng một nghiệm. + d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}$ không cùng phương với $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và hệ: $\{\begin{array}{c}{x}_0+a_{1}t={x_0}^{\prime }+{a_1}^{\prime }{t}^{\prime }\\ y_0+a_{2}t={y_0}^{\prime }+{a_2}^{\prime }{t}^{\prime }\\ z_0+a_{3}t={z_0}^{\prime }+{a_3}^{\prime }{t}^{\prime }\end{array}$ vô nghiệm.

Lưu ý:

- Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, người ta thường xét tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó:

+ Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương thì hai đường thẳng đó song song hoặc trùng nhau.

+ Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì hai đường thẳng đó cắt nhau hoặc chéo nhau.

- Ta có thể sử dụng tích có hướng và tích vô hướng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Chẳng hạn: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ và đường thẳng d′ đi qua điểm M′, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}$. Khi $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right]\ne \overrightarrow{0}$:

+ Nếu $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=0$ thì d và d′ cắt nhau.

+ Nếu $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\ne 0$ thì d và d′ chéo nhau.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) d: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2t\\ z=3-t\end{array}$ $(t\in R)$ hay d’:  $\{\begin{array}{c}x=2+2t^{\prime }\\ y=3+4t^{\prime }\\ z=5-2t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

b) d: $\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1+3t\\ z=5+t\end{array}$ $(t\in R)$ hay d’: $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{2}$.

c) d: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ và d’: $\frac{x-1}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-2}$.

Giải:

a) Ta có các vectơ chỉ phương của d và d′ lần lượt là $\overrightarrow{a}=(1;2;-1)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=(2;4;-2)$.

Vì $\overrightarrow{a^{\prime }}=2\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}$ cùng phương. Từ đó suy ra d và d′ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm $M\left(1;0;3\right)\in d$, ta có $M\notin d^{\prime }$ nên d//d′.

b) Ta có d và d′ lần lượt nhận $\overrightarrow{a}=\left(2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;2;2\right)$ là các vectơ chỉ phương.

Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}$ không cùng phương nên d và d′ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Có d′ đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;2;2\right)$ nên có phương trình tham số là d’: $\{\begin{array}{c}x=1+3t^{\prime }\\ y=-2+2t^{\prime }\\ z=-1+2t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

Xét hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}1+2t=1+3t^{\prime }\\ -1+3t=-2+2t^{\prime }\\ 5+t=-1+2t^{\prime }\end{array}$ ta không tìm được giá trị t, t’ thỏa mãn cả ba phương trình của hệ. Ta suy ra hệ trên vô nghiệm.

Vậy d và d’ chéo nhau.

c) Ta có: d đi qua M(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;2\right)$.

d′ đi qua M′(1; 2; −2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=(5;1;-2)$.

Nên phương trình tham số của d và d′ lần lượt là:

d: $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}$ $(t\in R)$ và d’: $\{\begin{array}{c}x=1+5t^{\prime }\\ y=2+t^{\prime }\\ z=-2-2t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

Xét hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}t=1+5t^{\prime }\\ 1-t=2+t^{\prime }\\ 2t=-2-2t^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t-5t^{\prime }=1\\ -t-t^{\prime }=2\\ 2t+2t^{\prime }=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=-\frac{2}{3}\\ t^{\prime }=-\frac{1}{3}\end{array}$.

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên d và d’ cắt nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{a^{\prime }}=({a_1}^{\prime };{a_2}^{\prime };{a_3}^{\prime })$. Khi đó: $d\perp d^{\prime }\iff \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a^{\prime }}=0\iff a_1{a_1}^{\prime }+a_2{a_2}^{\prime }+a_3{a_3}^{\prime }=0$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

d': $\{\begin{array}{c}x=5-t\\ y=-3+2t\\ z=4t\end{array}$ $(t\in R)$ và d’: $\frac{x-9}{2}=\frac{y-13}{3}=\frac{z-1}{-1}$.

Giải:

d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-1;2;4\right)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(2;3;-1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}=-2+6-4=0$ Suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{a^{\prime }}$. Vậy $d\perp d^{\prime }$.