Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, đường thẳng d đi qua hai điểm A và C. Tìm bốn vecto có điểm đầu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đã cho và là vecto chỉ phương của d.

Giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$ có giá trị trùng với d, hai vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ có giá song song với d (do AC // A′C′).

Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$. Hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ (t là tham số, $t\in R$).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;-1;2)$.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Trong hai điểm A(3; −3; 3) và B(1; −1; 1), điểm nào thuộc d?

Giải:

a) Phương trình tham số của d là $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=-2-t\\ z=1+2t\end{array}$ $(t\in R)$.

b) Điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có giá trị t thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}_0=2+t\\ y_0=-2-t\\ z_0=1+2t\end{array}$.

Ta có:

Với A(3; −3; 3), ta xét $\{\begin{array}{c}3=2+t\\ -3=-2-t\\ 3=1+2t\end{array}$. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất t = 1 nên A thuộc đường thẳng d.

Với B(1; −1; 1), ta xét $\{\begin{array}{c}1=2+t\\ -1=-2-t\\ 1=1+2t\end{array}$. Hệ phương trình này vô nghiệm nên B không thuộc d.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d, biết:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2; −1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(-1;-4;3)$.

b) Đường thẳng d có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=2-t\\ y=-1+2t\\ z=3-3t\end{array}$ $(t\in R)$.

Giải:

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là $\frac{x-4}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{3}$.

b)

Cách 1: Từ phương trình tham số của d, ta có đồ thị qua điểm M(2; −1; 3) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(-1;2;-3)$.

Suy ra, phương trình chính tắc của d là $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-3}$.

Cách 2: Từ phương trình tham số của dd, tính theo x , y, z, ta có $\{\begin{array}{c}t=\frac{x-2}{-1}\\ t=\frac{y+1}{2}\\ t=\frac{z-3}{-3}\end{array}$.

Vậy $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-3}$. Đây là phương trình chính tắc của d.

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_1(x_1;y_1;z_1)$ và $A_2(x_2;y_2;z_2)$. Đường thẳng $A_1{A}_2$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{A_1{A}_2}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1)$. Đường thẳng $A_1{A}_2$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t\\ z=z_1+(z_2-z_1)t\end{array}$ $(t\in R)$. Trong trường hợp $x_1\ne x_2,y_1\ne y_2,z_1\ne z_2$ thì đường thẳng $A_1{A}_2$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 2; -1) và B(3; -2; 2).

Giải:

Phương trình tham số của AB là:

$\{\begin{array}{c}x=4+(3-4)t\\ y=2+(-2-2)t\\ z=-1+(2+1)t\end{array}$ $(t\in R)$ hay $\{\begin{array}{c}x=4-t\\ y=2-4t\\ z=-1+3t\end{array}$ $(t\in R)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

$\frac{x-4}{3-4}=\frac{y-2}{-2-2}=\frac{z-(-1)}{2-(-1)}$ hay $\frac{x-4}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{3}$.

2. Hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ tương ứng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}(x_1;y_1;z_1)$, $\overrightarrow{u_2}(x_2;y_2;z_2)$. Khi đó: ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2\iff \overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0\iff a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2=0$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

d': $\{\begin{array}{c}x=5-t\\ y=-3+2t\\ z=4t\end{array}$ $(t\in R)$ và d’: $\frac{x-9}{2}=\frac{y-13}{3}=\frac{z-1}{-1}$.

Giải:

d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-1;2;4\right)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(2;3;-1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}=-2+6-4=0$ Suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{a^{\prime }}$. Vậy $d\perp d^{\prime }$.

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ lần lượt đi qua các điểm $A_1(x_1;y_1;z_1)$, $A_2(x_2;y_2;z_2)$ và tương ứng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}(x_1;y_1;z_1)$, $\overrightarrow{u_2}(x_2;y_2;z_2)$. Khi đó: ${\Delta }_1//{\Delta }_2\iff \overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$ và $A_1\notin {\Delta }_2$. ${\Delta }_1\equiv {\Delta }_2\iff \overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$ và $A_1\in {\Delta }_2$. ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ cắt nhau $\iff \{\begin{array}{c}\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{A_1{A}_2}\perp \left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{A_1{A}_2}\cdot \left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=0\end{array}$ ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ chéo nhau $\iff \overrightarrow{A_1{A}_2}\cdot \left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\ne 0$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) d: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2t\\ z=3-t\end{array}$ $(t\in R)$ hay d’:  $\{\begin{array}{c}x=2+2t^{\prime }\\ y=3+4t^{\prime }\\ z=5-2t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

b) d: $\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1+3t\\ z=5+t\end{array}$ $(t\in R)$ hay d’: $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{2}$.

c) d: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ và d’: $\frac{x-1}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-2}$.

Giải:

a) Ta có các vectơ chỉ phương của d và d′ lần lượt là $\overrightarrow{a}=(1;2;-1)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=(2;4;-2)$.

Vì $\overrightarrow{a^{\prime }}=2\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}$ cùng phương. Từ đó suy ra d và d′ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm $M\left(1;0;3\right)\in d$, ta có $M\notin d^{\prime }$ nên d//d′.

b) Ta có d và d′ lần lượt nhận $\overrightarrow{a}=\left(2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;2;2\right)$ là các vectơ chỉ phương.

Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}$ không cùng phương nên d và d′ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Có d′ đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;2;2\right)$ nên có phương trình tham số là d’: $\{\begin{array}{c}x=1+3t^{\prime }\\ y=-2+2t^{\prime }\\ z=-1+2t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

Xét hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}1+2t=1+3t^{\prime }\\ -1+3t=-2+2t^{\prime }\\ 5+t=-1+2t^{\prime }\end{array}$ ta không tìm được giá trị t, t’ thỏa mãn cả ba phương trình của hệ. Ta suy ra hệ trên vô nghiệm.

Vậy d và d’ chéo nhau.

c) Ta có: d đi qua M(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;2\right)$.

d′ đi qua M′(1; 2; −2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=(5;1;-2)$.

Nên phương trình tham số của d và d′ lần lượt là:

d: $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}$ $(t\in R)$ và d’: $\{\begin{array}{c}x=1+5t^{\prime }\\ y=2+t^{\prime }\\ z=-2-2t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

Xét hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}t=1+5t^{\prime }\\ 1-t=2+t^{\prime }\\ 2t=-2-2t^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t-5t^{\prime }=1\\ -t-t^{\prime }=2\\ 2t+2t^{\prime }=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=-\frac{2}{3}\\ t^{\prime }=-\frac{1}{3}\end{array}$.

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên d và d’ cắt nhau.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

d': $\{\begin{array}{c}x=5-t\\ y=-3+2t\\ z=4t\end{array}$ $(t\in R)$ và d’: $\frac{x-9}{2}=\frac{y-13}{3}=\frac{z-1}{-1}$.

Giải:

d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-1;2;4\right)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(2;3;-1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}=-2+6-4=0$ Suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{a^{\prime }}$. Vậy $d\perp d^{\prime }$.