Lý thuyết Phương trình đường tròn

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn

a) Phương trình đường tròn

Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi

$I M = R \Leftrightarrow I M^{2} = R^{2} \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R là

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Phương trình đường tròn có thể viết ở dạng $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ (chính tắc) hoặc đưa về dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ (tổng quát).

Nhận xét: Phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} > c$ . Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ .

b) Phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng

Do có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước nên ta có thể lập được phương trình đường tròn đó khi biết tọa độ của ba điểm nói trên.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) tâm I(a;b) và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn đó. Gọi $Δ$ là tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ . Khi đó:

Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ và có vecto pháp tuyến

$\vec{I M} = (x_{0} - a; y_{0} - b)$ .

Phương trình tiếp tuyến $Δ$ là

(x_{0} - a) (x - x_{0}) + (y_{0} - b) (y - y_{0}) = 0

B. Bài tập

Bài 1:

a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2;-1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải:

a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng $(x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} = 4^{2}$ .

Vậy (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 4.

b) Đường tròn (C’) có tâm J(2; -1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 64$ .

Bài 2: Phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Giải:

Từ phương trình, ta có $a = \frac{- 4}{- 2} = 2$ ; $b = \frac{2}{- 2} = - 1$ ; c = -4.

Suy ra $a^{2} + b^{2} - c = 2^{2} + (- 1)^{2} - (- 4) = 9 > 0$ .

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ là phương trình đường tròn tâm I(2;-1) và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$ .

Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 1), B(0; -2), C(0; 2).

Giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b). Ta có:

$I A = I B = I C \Leftrightarrow I A^{2} = I B^{2} = I C^{2}$ .

Khi đó:

${\begin{cases} (- 1 - a)^{2} + (1 - b)^{2} = (0 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} \\ (0 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} = (0 - a)^{2} + (2 - b)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a^{2} + b^{2} + 2 a - 2 b + 2 = a^{2} + b^{2} + 4 b + 4 \\ a^{2} + b^{2} + 4 b + 4 = a^{2} + b^{2} - 4 b + 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 a - 2 b = 4 b + 2 \\ b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$ .

Đường tròn tâm I(1;0) bán kính $R = I C = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 4 b + 4} = \sqrt{5}$ .

Phương trình đường tròn là $(x - 1)^{2} + (y - 0)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$ .

Vậy phương trình đường tròn là $(x - 1)^{2} + y^{2} = 5$ .

Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ . Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải:

Do $(0 + 1)^{2} + (1 - 3)^{2} = 5$ , nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có vecto pháp tuyến $- 1 (x - 0) + 2 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 2 = 0$ .