Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

I. Phương trình tương đương

1. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f\left(x\right)=0\iff g\left(x\right)=0$

2. Các phép biến đổi tương đương

-  Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

- Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

II. Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình $sinx=m$

Phương trình sinx = m có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$.

Khi $-1\le m\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$. Khi đó:

$sinx=m\iff \sin x=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x=\sin {\alpha }^o\iff [\begin{array}{c}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x={180}^o-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in Z\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{c}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in Z.\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z.\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z.\end{array}$

2. Phương trình $cosx=m$

Phương trình $cosx=m$ có nghiệm khi và chỉ khi$-1\le m\le 1$.

Khi $-1\le m\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $cos\alpha =m$. Khi đó:

$cosx=m\iff cosx=cos\alpha$ $\iff [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{c}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in Z\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{c}cosx=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z.\\ cosx=1\iff x=k2\pi ,k\in Z.\\ cosx=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in Z.\end{array}$

3. Phương trình $\tan x=m$

Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in R$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan x=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in Z.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x=\tan {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in Z.$

4. Phương trình $\cot x=m$

Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in R$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(0;\pi \right)$ thoả mãn $\cot \alpha =m$. Khi đó:

$\cot x=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in Z.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x=\cot {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in Z.$

III. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$3 (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$4 (CASIO FX 570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím  “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$