Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

A. Lý thuyết

1. Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết $f (x) = 0 \Leftrightarrow g (x) = 0$ .

* Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

2. Phương trình $s i n x = m$

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thoả mãn $\sin α = m$ . Khi đó:

$s i n x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$ .

* Chú ý:

a) Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì:

$\sin x = \sin α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = 180^{o} - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$ .

b) Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π, k \in Z . \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

3. Phương trình $\cos x = m$

Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [0; π]$ thoả mãn $c o s α = m$ . Khi đó:

$c o s x = m \Leftrightarrow c o s x = c o s α$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$ .

* Chú ý:

a) Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì:

$\cos x = \cos α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$ .

b) Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} c o s x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z . \\ c o s x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π, k \in Z . \\ c o s x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

4. Phương trình $\tan x = m$

Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thoả mãn $\tan α = m$ . Khi đó:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z$ .

* Chú ý: Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x = \tan α^{o} \Leftrightarrow x = α^{o} + k 180^{o}, k \in Z$ .

5. Phương trình $\cot x = m$

Phương trình $\cot x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (0; π)$ thoả mãn $\cot α = m$ . Khi đó:

$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z$ .

* Chú ý: Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x = \cot α^{o} \Leftrightarrow x = α^{o} + k 180^{o}, k \in Z$ .

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 3 (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 4 (CASIO FX 570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $α$ ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $α$ .

B. Bài tập

1. Giải phương trình:

a) $\sin x = - \frac{1}{2}$ ;

b) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Giải:

a) Do $\sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ nên $\sin x = \sin (- \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = π - (- \frac{π}{6}) + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}$ $(k \in Z)$ .

b) Do $\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\sin x = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array}$ $(k \in Z)$ .

2. Giải phương trình:

a) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Giải:

a) Do $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\cos x = \cos \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}$ $(k \in Z)$ .

b) Do $\cos \frac{3 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\cos x = \cos \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array}$ $(k \in Z)$ .

3. Giải phương trình:

a) $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ;

b) $\tan x = - 1$ .

Giải:

a) Do $\tan \frac{π}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π$ $(k \in Z)$ .

b) Do $\tan (- \frac{π}{4}) = - 1$ nên $\tan x = - 1$

$\Leftrightarrow \tan x = \tan (- \frac{π}{4}) \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π$ $(k \in Z)$ .

4. Giải phương trình:

a) $\cot x = - \sqrt{3}$ ;

b) $\cot 2 x = - \sqrt{3}$ .

Giải:

a) Do $\cot (- \frac{π}{6}) = - \sqrt{3}$ nên $\cot x = - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \cot x = \cot (- \frac{π}{6}) \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π$ $(k \in Z)$ .

b) Do $\cot \frac{5 π}{6} = - \sqrt{3}$ nên $\cot 2 x = - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \cot 2 x = \cot \frac{5 π}{6} \Leftrightarrow 2 x = \frac{5 π}{6} + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{5 π}{12} + k \frac{π}{2}$ $(k \in Z)$ .