Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I; R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu S(I; R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b ;c) bán kính R có phương trình

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Nhận xét: Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ là phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5.

b) Có đường kính AB với A(1; 3; 7) và B(3; 5; 1).

c) Có tâm A(1; 0; 2) và đi qua điểm B(2; 4; 1).

Giải:

a) Mặt cầu (S) có phương trình $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{3} = 25$ .

b) Mặt cầu (S) có đường kính AB nên có tâm J(2; 4; 4) là trung điểm AB và bán kính R = JA = $\sqrt{11}$ .

Vậy (S) có phương trình $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 4)^{2} = 11$ .

c) Mặt cầu (S) có tâm A(1; 0; -2) và đi qua điểm B(2; 4; 1) nên có bán kính R = AB = $\sqrt{26}$ .

Vậy (S) có phương trình $(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 26$ .

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:

a) (S): $(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} + (z + 1)^{2} = 81$ .

b) (S’): $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ .

Giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 7; -1) và bán kính R = $\sqrt{81}$ = 9.

b) Mặt cầu (S’) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R’ = $\sqrt{4}$ = 2.

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x - 6 y + 2 z - 10 = 0$ .

b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y - 6 z + 33 = 0$ .

Giải:

a) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x - 6 y + 2 z - 10 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - 4; b = 3; c = - 1; d = - 10$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0$ .

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-4; 3; -1), bán kính R = 6.

b) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y - 6 z + 33 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - \frac{1}{2}; b = - \frac{1}{2}; c = 3; d = 33$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 9 - 33 = - \frac{47}{2} < 0$ .

Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.

2. Vận dụng của phương trình mặt cầu

Ví dụ: Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assisstant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z = 0, đồng thời thuộc mặt cầu (S): $(x - 32)^{2} + (y - 50)^{2} + (z - 10)^{2} = 109$ (đơn vị độ dài tính theo mét).

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân.

c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J.

Giải:

Mặt cầu (S) có phương trình $(x - 32)^{2} + (y - 50)^{2} + (z - 10)^{2} = 109$ nên có tâm I(32; 50; 0) và bán kính $R = \sqrt{109}$ .

b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm I(32; 50; 10) xuống mặt sân có tọa độ J(32; 50; 0).

c) Trong tam giác vuông IJM, ta có IJ = 10, IM = R, suy ra

$J M = \sqrt{I M^{2} - I J^{2}} = \sqrt{109 - 100} = 3$ .

Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3 m.