Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cùng khám phá

1. Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm I bán kính r, kí hiệu S(I;r) hay (S).

Lưu ý: Cho mặt cầu S(I;r) và điểm M bất kì trong không gian.

- Nếu IM = r thì M nằm trên mặt cầu S(I;r).

- Nếu IM < r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).

- Nếu IM > r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).

Ví dụ:

- Điểm M nằm trên mặt cầu (S).
- Điểm N nằm trong mặt cầu (S).
- Điểm P nằm ngoài mặt cầu (S).

- Nếu hai điểm A, B nằm trên mặt cầu S(I;r) và đoạn thẳng AB đi qua tâm I thì AB được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r.
- Một mặt cầu được xác định khi ta biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của nó.

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I(-2;1;5) bán kính 3. Các điểm A(10;1;2), B(0;1;4), C(0;3;4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?

Giải:

Do $I A = \sqrt{{(10 - (- 2))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 5)}^{2}} = \sqrt{153} > 3$ nên điểm A(10;1;2) nằm ngoài mặt cầu đó.

Do $I B = \sqrt{{(0 - (- 2))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(4 - 5)}^{2}} = \sqrt{5} < 3$ nên điểm B(0;1;4) nằm trong mặt cầu đó.

Do $I C = \sqrt{{(0 - (- 2))}^{2} + {(3 - 1)}^{2} + {(4 - 5)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$ nên điểm C(0;3;4) nằm trên mặt cầu đó.

2. Phương trình mặt cầu

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r là

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:

a) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .

b) $(x + 2)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 4$ .

Giải:

a) Ta có $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y - (- 2))^{2} + (z - 3)^{2} = 4^{2}$ .

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.

b) Ta có $(x + 2)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 4 \Leftrightarrow (x - (- 2))^{2} + (y - 0)^{2} + (z - (- 3))^{2} = 2^{2}$ .

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(-2;0;-3) và bán kính r = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu, biết:

a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 10.

b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).

Giải:

a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;3) bán kính R = 10 là $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{3} = 100$ .

b) Bán kính mặt cầu là $R = I B = \sqrt{{(0 - 3)}^{2} + {(2 + 1)}^{2} + {(1 + 5)}^{2}} = \sqrt{54}$ .

Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính $R = \sqrt{54}$ là $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 5)^{3} = 54$ .

Nhận xét:

Cho mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r có phương trình $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ . Ta có thể viết phương trình đó dưới dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ , với $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$ .

Dạng phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ xác định một mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ với tâm I(a;b;c) và bán kính $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Ví dụ 3: Mỗi phương tình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?

a) $2 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ .

b) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 8 z - 3 = 0$ .

Giải:

a) Phương trình $2 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của $x^{2}$ và $y^{2}$ khác nhau.

b) Phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 8 z - 3 = 0$ không phải phương trình mặt cầu vì không có biểu thức $z^{2}$ .

Ví dụ 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 10 y - 2 z + 14 = 0$ .

b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 4 y - 6 z + 20 = 0$ .

Giải:

a) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 10 y - 2 z + 14 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = 2; b = - 5; c = 1; d = 14$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 4 + 25 + 1 - 14 = 16 > 0$ .

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2;-5;1), bán kính R = 4.

b) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 4 y - 6 z + 20 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - 1; b = - 2; c = 3; d = 20$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 4 + 9 - 20 = - 6 < 0$ .

Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.