Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cùng khám phá

1. Định nghĩa mặt cầu

1. Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm I bán kính r, kí hiệu S(I;r) hay (S).

Lưu ý: Cho mặt cầu S(I;r) và điểm M bất kì trong không gian.

- Nếu IM = r thì M nằm trên mặt cầu S(I;r).

- Nếu IM < r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).

- Nếu IM > r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).

Ví dụ:

- Điểm M nằm trên mặt cầu (S).
- Điểm N nằm trong mặt cầu (S).
- Điểm P nằm ngoài mặt cầu (S).

- Nếu hai điểm A, B nằm trên mặt cầu S(I;r) và đoạn thẳng AB đi qua tâm I thì AB được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r.
- Một mặt cầu được xác định khi ta biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của nó.

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I(-2;1;5) bán kính 3. Các điểm A(10;1;2), B(0;1;4), C(0;3;4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?

Giải:

Do $I A = \sqrt{{(10 - (- 2))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 5)}^{2}} = \sqrt{153} > 3$ nên điểm A(10;1;2) nằm ngoài mặt cầu đó.

Do $I B = \sqrt{{(0 - (- 2))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(4 - 5)}^{2}} = \sqrt{5} < 3$ nên điểm B(0;1;4) nằm trong mặt cầu đó.

Do $I C = \sqrt{{(0 - (- 2))}^{2} + {(3 - 1)}^{2} + {(4 - 5)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$ nên điểm C(0;3;4) nằm trên mặt cầu đó.

2. Phương trình mặt cầu

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r là

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:

a) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .

b) $(x + 2)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 4$ .

Giải:

a) Ta có $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y - (- 2))^{2} + (z - 3)^{2} = 4^{2}$ .

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.

b) Ta có $(x + 2)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 4 \Leftrightarrow (x - (- 2))^{2} + (y - 0)^{2} + (z - (- 3))^{2} = 2^{2}$ .

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(-2;0;-3) và bán kính r = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu, biết:

a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 10.

b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).

Giải:

a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;3) bán kính R = 10 là $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{3} = 100$ .

b) Bán kính mặt cầu là $R = I B = \sqrt{{(0 - 3)}^{2} + {(2 + 1)}^{2} + {(1 + 5)}^{2}} = \sqrt{54}$ .

Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính $R = \sqrt{54}$ là $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 5)^{3} = 54$ .

Nhận xét:

Cho mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r có phương trình $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ . Ta có thể viết phương trình đó dưới dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ , với $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$ .

Dạng phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ xác định một mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ với tâm I(a;b;c) và bán kính $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Ví dụ 3: Mỗi phương tình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?

a) $2 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ .

b) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 8 z - 3 = 0$ .

Giải:

a) Phương trình $2 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của $x^{2}$ và $y^{2}$ khác nhau.

b) Phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 8 z - 3 = 0$ không phải phương trình mặt cầu vì không có biểu thức $z^{2}$ .

Ví dụ 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 10 y - 2 z + 14 = 0$ .

b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 4 y - 6 z + 20 = 0$ .

Giải:

a) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 10 y - 2 z + 14 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = 2; b = - 5; c = 1; d = 14$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 4 + 25 + 1 - 14 = 16 > 0$ .

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2;-5;1), bán kính R = 4.

b) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 4 y - 6 z + 20 = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - 1; b = - 2; c = 3; d = 20$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 4 + 9 - 20 = - 6 < 0$ .

Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.