Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ có thể viết lại thành $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ . Khi đó, (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là $α^{\circ} N, β^{\circ}$ E $(0 < α, β < 90)$ thì có tọa độ $M (\cos α^{\circ} \cos β^{\circ}; \cos α^{\circ} \sin β^{\circ}; \sin α^{\circ})$ . Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: $10^{\circ} N, 15^{\circ} E$ đến vị trí Q: $80^{\circ} N, 70^{\circ} E$ .

Giải:

Ta có: $P (\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ}; \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ}; \sin 10^{\circ})$ ;

$Q (\cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ}; \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ}; \sin 80^{\circ})$ .

Suy ra: $\vec{O P} = (\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ}; \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ}; \sin 10^{\circ})$ ;

$\vec{O Q} = (\cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ}; \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ}; \sin 80^{\circ})$ .

Do đó: $\vec{O P} . \vec{O Q} = \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ}$

$+ \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ} + \sin 10^{\circ} \sin 80^{\circ} \approx 0, 2691$ .

Vì P, Q thuộc mặt đất nên $| \vec{O P} | = | \vec{O Q} | = 1$ .

Do đó $\cos \hat{P O Q} = \frac{\vec{O P} . \vec{O Q}}{| \vec{O P} | . | \vec{O Q} |} \approx 0, 2691$ . Suy ra, $\hat{P O Q} \approx 74, 3893^{\circ}$ .

Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là $2 π \approx 6, 2832$ , nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{74, 3893}{360} .6, 2832 \approx 1, 2983$ .

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).