Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.

Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ có thể viết lại thành $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=a^2+b^2+c^2-d$ và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2-d>0$. Khi đó, (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }N,{\beta }^{\circ }$E $(0<\alpha ,\beta <90)$ thì có tọa độ $M(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: ${10}^{\circ }N,{15}^{\circ }E$ đến vị trí Q: ${80}^{\circ }N,{70}^{\circ }E$.

Giải:

Ta có: $P(\cos {10}^{\circ }\cos {15}^{\circ };\cos {10}^{\circ }\sin {15}^{\circ };\sin {10}^{\circ })$;

$Q(\cos {80}^{\circ }\cos {70}^{\circ };\cos {80}^{\circ }\sin {70}^{\circ };\sin {80}^{\circ })$.

Suy ra: $\overrightarrow{OP}=(\cos {10}^{\circ }\cos {15}^{\circ };\cos {10}^{\circ }\sin {15}^{\circ };\sin {10}^{\circ })$;

$\overrightarrow{OQ}=(\cos {80}^{\circ }\cos {70}^{\circ };\cos {80}^{\circ }\sin {70}^{\circ };\sin {80}^{\circ })$.

Do đó: $\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=\cos {10}^{\circ }\cos {15}^{\circ }\cos {80}^{\circ }\cos {70}^{\circ }$

$+\cos {10}^{\circ }\sin {15}^{\circ }\cos {80}^{\circ }\sin {70}^{\circ }+\sin {10}^{\circ }\sin {80}^{\circ }\approx 0,2691$.

Vì P, Q thuộc mặt đất nên $\left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1$.

Do đó $\cos \widehat{POQ}=\frac{\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}}{\left|\overrightarrow{OP}\right|.\left|\overrightarrow{OQ}\right|}\approx 0,2691$. Suy ra, $\widehat{POQ}\approx 74,{3893}^{\circ }$.

Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là $2\pi \approx 6,2832$, nên cung nhỏ  của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{74,3893}{360}.6,2832\approx 1,2983$.

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).