Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\left(\alpha \right)$.

Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Nếu hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong $\left(\alpha \right)$ thì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ được gọi là cặp vecto chỉ phương của $\left(\alpha \right)$.

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy tìm bốn vecto pháp tuyến và hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B).

Giải:

Bốn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AA’B’B) là: $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B) là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$.

Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nhận hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ làm cặp vecto chỉ phương thì $\left(\alpha \right)$ nhận vecto $\overrightarrow{n}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1)$ làm vecto pháp tuyến.

Vecto $\overrightarrow{n}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1)$ còn được gọi là tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$, kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$.

Biểu thức $a_1{b}_2-a_2{b}_1$ thường được kí hiệu là $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$.

Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương $\iff \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=0$.

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{a}=(1;2;3)$, $\overrightarrow{b}=(4;1;5)$ làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ là

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=(2.5-3.1;3.4-1.5;1.1-2.4)=(7;7;-7)$.

Do đó, mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{7}\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=(1;1;-1)$ làm một vecto pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó $N(x_0;y_0;z_0)\in \left(\alpha \right)\iff A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$.

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): $3x-5y+7z=0$ và (Q): $x+y-2=0$.

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-5;7)$.

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;1;0)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 $\ne 0$.

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ có phương trình là: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\iff Ax+By+Cz+D=0$, với $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$.

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$ nên phương trình của (P) là $1\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)+1\left(z-3\right)=0\iff x+2y-8=0$.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$. - Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;2;1)$, $\overrightarrow{b}=(2;1;3)$.

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;2;1)$, $\overrightarrow{b}=(2;1;3)$, suy ra (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=(2.3-1.1;1.2-1.3;1.1-2.2)=(5;-1;-3)$.

Phương trình của (P) là $5(x-4)-1(y-0)-3(z-1)=0\iff 5x-y-3z-17=0$.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. - Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$. - Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A (hoặc B, C) và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(0;1;1)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0;-1)$, suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(1.\right(-1)-1.0;1.3-0.(-1);0.0-1.3)=(-1;3;-3)$.

Phương trình của (P) là $-1(x-1)+3(y-1)-3(z-1)=0\iff x-3y+3z=0$.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c $\ne$ 0 có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $\left({\alpha }_1\right):A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$, $\left({\alpha }_2\right):A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ với hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(A_1;B_1;C_1)$, $\overrightarrow{n_2}=(A_2;B_2;C_2)$ tương ứng. Giả sử điểm $M\in \left({\alpha }_1\right)$.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng $\left({\alpha }_1\right)$ và $\left({\alpha }_2\right)$ song song khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_2}$ và $M\notin \left({\alpha }_2\right)$. Trong trường hợp $A_2.B_2.C_2.D_2\ne 0$ thì: $\left({\alpha }_1\right)//\left({\alpha }_2\right)\iff \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$

Điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau

Hai mặt phẳng $\left({\alpha }_1\right)$ và $\left({\alpha }_2\right)$ trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_2}$ và $M\in \left({\alpha }_2\right)$. Trong trường hợp $A_2.B_2.C_2.D_2\ne 0$ thì: $\left({\alpha }_1\right)\equiv \left({\alpha }_2\right)\iff \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $2x-3y+z+5=0$.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (Q): $-4x+6y-2z+7=0$ song song với (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với (P).

Giải:

a) Xét (P): $2x-3y+z+5=0$ và (Q): $-4x+6y-2z+7=0$.

Ta có $\frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}\ne \frac{5}{7}$ nên (P)//(Q).

b) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$.

Vì (P’)//(P) nên (P’) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$.

Vậy mặt phẳng (P’) đi qua đi qua M(1;-2;3) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$ có phương trình là: $2(x-1)-3(y+2)+1(z-3)=0$ hay $2x-3y+z-11=0$.

Điều kiện để hai mặt phẳng cắt nhau

Hai mặt phẳng $\left({\alpha }_1\right)$ và $\left({\alpha }_2\right)$ cắt nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}$ không cùng phương với $\overrightarrow{n_2}$. Trong trường hợp $A_2.B_2.C_2\ne 0$ thì: $\left({\alpha }_1\right)\cap \left({\alpha }_2\right)\iff \frac{A_1}{A_2}\ne \frac{B_1}{B_2}$ hoặc $\frac{A_1}{A_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$ hoặc $\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Xét hai mặt phẳng $\left({\alpha }_1\right)$ và $\left({\alpha }_2\right)$. $\left({\alpha }_1\right)\perp \left({\alpha }_2\right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\iff A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): $x-4y+3z+2=0$, (Q): $4x+y+88=0$, (R): $x+y+z+9=0$. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;-4;3)$, $\overrightarrow{n_2}=(4;1;0)$, $\overrightarrow{n_3}=(1;1;1)$.

Ta có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.4+(-4).1+3.0=0$. Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_3}=1.1+(-4).1+3.1=0$. Vậy (P) ⊥ (R).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: Ax + By + Cz + D = 0 là: $d(M,(P\left)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): $x+y+z+12=0$.

Giải: $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1.1+1.2+1.3+12\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}$.

Ví dụ 2: Chứng minh $\left(\alpha \right)$: 2x + 3y – 6z – 7 = 0 song song với $\left(\beta \right)$: 2x + 3y – 6z + 14 = 0 và tìm khoảng cách giữa chúng.

Giải:

Ta có $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}=\frac{-6}{-6}\ne \frac{-7}{14}$ nên $\left(\alpha \right)$//$\left(\beta \right)$. Lấy điểm N(-7;0;0) thuộc $\left(\beta \right)$.

Vậy $d\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=d\left(N,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.(-7)+3.0-6.3-7\right|}{\sqrt{2^2+3^2+{(-6)}^2}}=\frac{21}{7}=3$.