Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

a) Khái niệm vecto pháp tuyến

Vecto

\vec{n} \neq \vec{0}

được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng

(α)

nếu giá của

\vec{n}

vuông góc với

(α)

b) Tích có hướng của hai vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ . Khi đó vecto $\vec{n} = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , được gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu là $[\vec{u}, \vec{v}]$ .

c) Cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, hai vecto $\vec{u}$ , $\vec{v}$ được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P)

Nếu $\vec{u}$ , $\vec{v}$ là cặp vecto chỉ phương của (P) thì $[\vec{u}, \vec{v}]$ là một vecto pháp tuyến của (P).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình là:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

$\Leftrightarrow A x + B y + C z + D = 0$ ,

với $D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$ .

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương $\vec{u}$ , $\vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

Tìm vecto pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến $\vec{n}$ .

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

Tìm cặp vecto chỉ phương $\vec{A B}, \vec{A C}$ .
Tìm vecto pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến $\vec{n}$

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

$(α) : A x + B y + C z + D = 0$ , $(β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0,$ với hai vecto pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ , $\vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ tương ứng. Khi đó:

$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow \vec{n} ⊥ \vec{n^{'}} \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

$(α) / / (β) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n^{'}} = k \vec{n} \\ D^{'} \neq k D \end{cases}$ với k nào đó.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}