Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Cánh diều

1. Phương trình tích có dạng $\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=0\left(a\ne 0,c\ne 0\right)$

Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích $\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=0$ với $a\ne 0$ và $c\ne 0$, ta có thể làm như sau: Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: $ax+b=0$ và $cx+d=0$ Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

Ví dụ 1: Giải phương trình $\left(2x+1\right)\left(3x-1\right)=0$

Lời giải:

Để giải phương trình  $\left(2x+1\right)\left(3x-1\right)=0$, ta giải hai phương trình sau:

*) $2x+1=0$

$2x=-1$

$x=-\frac{1}{2}$.

*) $3x-1=0$

$3x=1$

$x=\frac{1}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{1}{2}$ và $x=\frac{1}{3}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2-x=-2x+2$.

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

$\begin{array}{c}{x}^2-x=-2x+2\\ x^2-x+2x-2=0\\ x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.\end{array}$

Ta giải hai phương trình sau:

*) $x+2=0$

$x=-2$.

*) $x-1=0$

$x=1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-2$ và $x=1$.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ:

- Phương trình $\frac{5x+2}{x-1}=0$ có điều kiện xác định là $x-1\ne 0$ hay $x\ne 1$.

- Phương trình $\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x-2}$ có điều kiện xác định là $x+1\ne 0$ và $x-2\ne 0$ hay $x\ne -1$ và $x\ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được. Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị tìm được ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x\ne -1$ và $x\ne 2$.

$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3$.

$\begin{array}{c}2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3\\ 2x-4+x+1=3\\ 3x-3=3\\ 3x=6\\ x=2\end{array}$

Ta thấy $x=2$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ vô nghiệm.