Lý thuyết Phương trình và bất phương trình logarit

A. Lý thuyết

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng $\log_{a} x = b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Phương trình

\log_{a} x = b

(a > 0, a \neq 1)

luôn có nghiệm duy nhất

x = a^{b}

với mọi b.

Lưu ý: Nếu $b = \log_{a} α$ $(α > 0)$ thì phương trình $\log_{a} x = b$ trở thành $\log_{a} x = \log_{a} α$ với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất $x = α$ . Một cách tổng quát, với a > 0 và $a \neq 1$ , ta có:

$\log_{a} A = \log_{a} B \Leftrightarrow {\begin{cases} A > 0 \\ B > 0 \\ A = B \end{cases}$ .

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $\log_{a} x > b$ hoặc $\log_{a} x \geq b$ , $\log_{a} x < b$ , $\log_{a} x \leq b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Cho bất phương trình $\log_{a} x > b$ $(a > 0, a \neq 1)$ :

- Nếu a > 1: Ta có $\log_{a} x > b \Leftrightarrow x > a^{b}$ .

- Nếu 0 < a < 1: Ta có

\log_{a} x > b \Leftrightarrow 0 < x < a^{b}

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: $\log_{a} x \geq b$ , $\log_{a} x < b$ , $\log_{a} x \leq b$ .

Nếu $b = \log_{a} α$ $(α > 0)$ thì bất phương trình $\log_{a} x > b$ trở thành $\log_{a} x > \log_{a} α$ . Khi đó:

- Nếu a > 1 thì $\log_{a} x > \log_{a} α \Leftrightarrow x > α$ .

- Nếu 0 < a < 1 thì $\log_{a} x > \log_{a} α \Leftrightarrow x < α$ .

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì $\log_{a} A > \log_{a} B \Leftrightarrow A > B > 0$ .

- Khi 0 < a < 1 thì $\log_{a} A > \log_{a} B \Leftrightarrow 0 < A < B$ .

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $\log_{2} (x + 1) = 3$ .

b) $\ln (x + 1) = l n (x^{2} - 1)$ .

Giải:

a) Điều kiện của phương trình là $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$ .

Ta có $\log_{2} (x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 2^{3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.

b) Điều kiện của phương trình là ${\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - 1 \\ [\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$ .

Ta có $\ln (x + 1) = l n (x^{2} - 1) \Rightarrow x + 1 = x^{2} - 1$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) $\log_{2} x > 7$ .

b) $\log_{0, 5} (6 x + 12) < \log_{0, 5} (x^{2} + 7 x + 10)$ .

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên $\log_{2} x > 7 \Leftrightarrow x > 2^{7} \Leftrightarrow x > 128$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(128; + \infty)$ .

b) Điều kiện của bất phương trình là ${\begin{cases} 6 x + 12 > 0 \\ x^{2} + 7 x + 10 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - 2 \\ [\begin{array}{l} x < - 5 \\ x > - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x > - 2$ .

Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên $\log_{0, 5} (6 x + 12) < \log_{0, 5} (x^{2} + 7 x + 10) \Leftrightarrow 6 x + 12 > x^{2} + 7 x + 10 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1$ .

Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là $(- 2; 1)$ .