Lý thuyết Phương trình và bất phương trình logarit

1. Phương trình logarit cơ bản Phương trình mũ cơ bản có

A. Lý thuyết

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng $\log_{a} x = b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Phương trình

\log_{a} x = b

(a > 0, a \neq 1)

luôn có nghiệm duy nhất

x = a^{b}

với mọi b.

Lưu ý: Nếu $b = \log_{a} α$ $(α > 0)$ thì phương trình $\log_{a} x = b$ trở thành $\log_{a} x = \log_{a} α$ với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất $x = α$ . Một cách tổng quát, với a > 0 và $a \neq 1$ , ta có:

$\log_{a} A = \log_{a} B \Leftrightarrow {\begin{cases} A > 0 \\ B > 0 \\ A = B \end{cases}$ .

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $\log_{a} x > b$ hoặc $\log_{a} x \geq b$ , $\log_{a} x < b$ , $\log_{a} x \leq b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Cho bất phương trình $\log_{a} x > b$ $(a > 0, a \neq 1)$ :

- Nếu a > 1: Ta có $\log_{a} x > b \Leftrightarrow x > a^{b}$ .

- Nếu 0 < a < 1: Ta có

\log_{a} x > b \Leftrightarrow 0 < x < a^{b}

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: $\log_{a} x \geq b$ , $\log_{a} x < b$ , $\log_{a} x \leq b$ .

Nếu $b = \log_{a} α$ $(α > 0)$ thì bất phương trình $\log_{a} x > b$ trở thành $\log_{a} x > \log_{a} α$ . Khi đó:

- Nếu a > 1 thì $\log_{a} x > \log_{a} α \Leftrightarrow x > α$ .

- Nếu 0 < a < 1 thì $\log_{a} x > \log_{a} α \Leftrightarrow x < α$ .

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì $\log_{a} A > \log_{a} B \Leftrightarrow A > B > 0$ .

- Khi 0 < a < 1 thì $\log_{a} A > \log_{a} B \Leftrightarrow 0 < A < B$ .

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $\log_{2} (x + 1) = 3$ .

b) $\ln (x + 1) = l n (x^{2} - 1)$ .

Giải:

a) Điều kiện của phương trình là $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$ .

Ta có $\log_{2} (x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 2^{3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.

b) Điều kiện của phương trình là ${\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - 1 \\ [\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$ .

Ta có $\ln (x + 1) = l n (x^{2} - 1) \Rightarrow x + 1 = x^{2} - 1$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) $\log_{2} x > 7$ .

b) $\log_{0, 5} (6 x + 12) < \log_{0, 5} (x^{2} + 7 x + 10)$ .

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên $\log_{2} x > 7 \Leftrightarrow x > 2^{7} \Leftrightarrow x > 128$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(128; + \infty)$ .

b) Điều kiện của bất phương trình là ${\begin{cases} 6 x + 12 > 0 \\ x^{2} + 7 x + 10 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - 2 \\ [\begin{array}{l} x < - 5 \\ x > - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x > - 2$ .

Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên $\log_{0, 5} (6 x + 12) < \log_{0, 5} (x^{2} + 7 x + 10) \Leftrightarrow 6 x + 12 > x^{2} + 7 x + 10 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1$ .

Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là $(- 2; 1)$ .