Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ

A. Lý thuyết

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x=b$ $(a>0,a\ne 1)$.

Cho phương trình $a^x=b$ $(a>0,a\ne 1)$: - Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$. - Nếu $b\le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lưu ý: Với a > 0 và $a\ne 1$ và $b=a^{\alpha }$ thì phương trình $a^x=b$ trở thành $a^x=a^{\alpha }$. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=\alpha$. Một cách tổng quát, với a > 0 và $a\ne 1$ , ta có:

$a^{A\left(x\right)}=a^{B\left(x\right)}\iff A\left(x\right)=B\left(x\right)$.

2. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ hoặc $a^x\ge b$, $a^x<b$, $a^x\le b$ $(a>0,a\ne 1)$.

Cho bất phương trình $a^x>b$ $(a>0,a\ne 1)$: - Nếu $b\le 0$ thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R$. - Nếu b > 0 và: + a > 1: Ta có $a^x>b\iff x>{\log }_{a}b$. + 0 < a < 1: Ta có $a^x>b\iff x<{\log }_{a}b$.

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: $a^x\ge b$, $a^x<b$, $a^x\le b$.

Với a > 0, $a\ne 1$ và $b=a^{\alpha }$  thì bất phương trình $a^x>b$ trở thành $a^x>a^{\alpha }$. Khi đó:

- Nếu a > 1 thì $a^x>a^{\alpha }\iff x>\alpha$.

- Nếu 0 < a < 1 thì $a^x>a^{\alpha }\iff x<\alpha$.

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì $a^{A\left(x\right)}>a^{B\left(x\right)}\iff A\left(x\right)>B\left(x\right)$.

- Khi 0 < a < 1 thì $a^{A\left(x\right)}>a^{B\left(x\right)}\iff A\left(x\right)<B\left(x\right)$.

 

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $3^{x+1}=\frac{1}{9}$.

b) $2^{2x-1}+4^{x+1}=5$.

Giải:

a) $3^{x+1}=\frac{1}{9}\iff x+1={\log }_3\frac{1}{9}\iff x+1=-2\iff x=-3$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.

b) $2^{2x-1}+4^{x+1}=5\iff \frac{1}{2}{.4}^x+{4.4}^x=5\iff \frac{9}{2}{.4}^x=5\iff 4^x=\frac{10}{9}\iff x={\log }_4\frac{10}{9}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x={\log }_4\frac{10}{9}$.

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) $2^x\ge \frac{1}{32}$.

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}>15$.

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên $2^x\ge \frac{1}{32}\iff x\ge {\log }_2\frac{1}{32}\iff x\ge -5$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[-5;+\infty )$.

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}>15\iff \frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x+2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x>15\iff \frac{5}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x>15\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^x>6\iff x<{\log }_{\frac{1}{2}}6$ (do cơ số $\frac{1}{2}<1$).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;{\log }_{\frac{1}{2}}6)$.