Lý thuyết Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lí thuyết

1. Số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:

Bảng 1. Bảng tần số ghép nhóm

- Bảng trên gồm k nhóm $[u_{i}; u_{i + 1})$ với $1 \leq j \leq k$ , mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một tiêu chí xác định.

- Cỡ mẫu $n = n_{1} + . . . + n_{k}$ .

- Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện.

- Hiệu $u_{i + 1} - u_{i}$ được gọi là độ dài của nhóm $[u_{i}; u_{i + 1})$ .

Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu

- Sử dụng từ $k = 5$ đến $k = 20$ nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu.

- Các nhóm có cùng độ dài bằng L thỏa mãn R < k.L, trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.

- Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm $[u_{1}; u_{2})$ và càng gần $u_{1}$ càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu thuộc nhóm $[u_{k}; u_{k + 1})$ và càng gần $u_{k + 1}$ càng tốt.

* Chú ý:

Các đầu mút của nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu.

2. Số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\bar{x}$ được tính như sau:

$\bar{x} = \frac{n_{1} c_{1} + . . . + n_{k} c_{k}}{n}$

Trong đó, $n = n_{1} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu.

Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

3. Mốt

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.

Giả sử nhóm chứa mốt là: $[u_{m}; u_{m + 1})$ . Khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $M_{o}$ được xác định bời công thức:

$M_{o} = u_{m} + \frac{n_{m} - n_{m - 1}}{(n_{m} - n_{m - 1}) + (n_{m} - n_{m + 1})} . (u_{m + 1} - u_{m})$

Chú ý:

Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì $n_{m - 1} = 0$ . Nếu không có nhóm kề sau của nhóm chứa mốt thì $n_{m + 1} = 0$ .

Ý nghĩa:

- Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm $M_{o}$ xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị nằm xung quanh $M_{o}$ thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác.

- Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

B. Bài tập

1) Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 lá cây (đơn vị: milimét) và thu được bằng tần số như bảng.

Tính chiều dài trung bình của 74 lá cây trên theo đơn vị milimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải:

Chiều dài trung bình của 74 lá cây mà nhà thực vật học đo xấp xỉ là:

$\bar{x} = \frac{5.5, 65 + 9.6, 05 + 15.6, 45 + 19.6, 85 + 16.7, 25 + 8.7, 65 + 2.8, 05}{74} \approx 6, 80$ (mm).

2) Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong bảng.

Giải:

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là n = 42. Cân nặng trung binh của học sinh lớp 11D là:

$\bar{x} = \frac{10.43 + 7.48 + 16.53 + 4.58 + 2.63 + 3.68}{42} \approx 51, 81$ (kg).

3) Kết quả kiếm tra môn Toán của lớp 11D lập thành bảng tần số ghép nhóm như sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải:

Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [5; 7) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 5; g = 2; $u_{2} = 18$ . Nhóm 1 có tần số $n_{1} = 5$ , nhóm 3 có tần số $n_{3} = 10$ . Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

$M_{o} = 5 + (\frac{18 - 5}{2.18 - 5 - 10}) .2 \approx 6, 2$ .

4) Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A.

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?

Giải:

Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [150; 155).

Do đó $M_{o} = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} .5 \approx 153, 18$ .