Lý thuyết Tỉ lệ thức - Dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 Chân trời sáng tạo

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Tỉ lệ thức

Định nghĩa tỉ lệ thức

+ Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

+ Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ còn được viết là $a : b = c : d$

Ví dụ: $\frac{28}{24} = \frac{7}{6};$ $\frac{3}{10} = \frac{2, 1}{7}$

Tính chất tỉ lệ thức

+ Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a . d = b . c$

+ Tính chất 2 (điều kiện để bốn số lập thành tỉ lệ thức): Nếu $a d = b c$ và $a, b, c, d \neq 0$ thì ta có các tỉ lệ thức

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ; $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a};$ $\frac{d}{c} = \frac{b}{a} .$

Ví dụ: Ta có $\frac{3}{6} = \frac{9}{18} \Rightarrow 3.18 = 9.6 (= 54)$

Vì $4.9 = 3.12 (= 36)$ nên ta có các tỉ lệ thức sau: $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}; \frac{3}{4} = \frac{9}{12}; \frac{4}{12} = \frac{3}{9}; \frac{12}{4} = \frac{9}{3}$

2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

* Ta có $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

* Từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ ta suy ra:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a - c + e}{b - d + f}$

Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.

Ví dụ: $\frac{10}{6} = \frac{5}{3} = \frac{10 + 5}{6 + 3} = \frac{15}{9}$

$\frac{10}{6} = \frac{5}{3} = \frac{10 - 5}{6 - 3}$

* Mở rộng

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{m a + n c}{m b + n d} = \frac{m a - n c}{m b - n d}$

Ví dụ:

$\frac{10}{6} = \frac{5}{3} = \frac{2.10 + 3.5}{2.6 + 3.3} = \frac{35}{21}$

Chú ý:

Khi nói các số $x, y, z$ tỉ lệ với các số $a, b, c$ tức là ta có $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ . Ta cũng viết $x : y : z = a : b : c$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước

Phương pháp:

Ta sử dụng: Nếu $a . d = b . c$ thì

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ; $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a};$ $\frac{d}{c} = \frac{b}{a} .$

Dạng 2: Tìm x, y

Phương pháp:

Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a . d = b . c$

Trong một tỉ lệ thức ta có thể tìm một số hạng chưa biết khi biết ba số hạng còn lại.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a = \frac{b c}{d}; b = \frac{a d}{c};$ $c = \frac{a d}{b}; d = \frac{b c}{a}$ .

Ví dụ: Tìm x biết $\frac{x}{2} = \frac{8}{6}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x}{2} = \frac{8}{6} \\ \Rightarrow x .6 = 8.2 \\ \Rightarrow x = \frac{16}{6} \\ \Rightarrow x = \frac{8}{3} \end{array}$

Dạng 3: Chứng minh các tỉ lệ thức

Phương pháp:

Dựa vào các tính chất của tỉ lệ thức và biến đổi linh hoạt để chứng minh.

Dạng 4: Tìm hai số $x; y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Phương pháp giải:

* Để tìm hai số $x; y$ khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{x + y}{a + b} = \frac{s}{a + b}$

Từ đó $x = \frac{s}{a + b} . a; y = \frac{s}{a + b} . b$ .

* Để tìm hai số $x; y$ khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{x - y}{a - b} = \frac{p}{a - b}$

Từ đó $x = \frac{p}{a - b} . a;$ $y = \frac{p}{a - b} . b$ .

Ví dụ: Tìm hai số $x; y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = - 32$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{- 32}{8} = - 4$

Do đó $\frac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = (- 4) .3 = - 12$ và $\frac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = (- 4) .5 = - 20.$

Vậy $x = - 12; y = - 20.$

Dạng 5: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $P$ thành ba phần $x, y, z$ tỉ lệ với các số $a, b, c$ , ta làm như sau:

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{x + y + z}{a + b + c} = \frac{P}{a + b + c}$

Từ đó $x = \frac{P}{a + b + c} . a; y = \frac{P}{a + b + c} . b$ ; $z = \frac{P}{a + b + c} . c$ .

Dạng 6: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng

Phương pháp:

Tìm hai số $x; y$ biết $x . y = P$ và $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$

Cách 1: Ta có $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}$

Đặt $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k$ ta có $x = k a; y = k b$

Nên $x . y = k a . k b = k^{2} a b = P$ $\Rightarrow k^{2} = \frac{P}{a b}$

Từ đó tìm được $k$ sau đó tìm được $x, y$ .

Cách 2: Ta có $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{x^{2}}{x y} = \frac{a}{b}$ hay $\frac{x^{2}}{P} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{P a}{b}$ từ đó tìm được $x$ và $y .$

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 8: Bài toán về tỉ lệ thức

Phương pháp:

+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài

+ Lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.