Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

a) Tích vô hướng của hai vecto có cùng điểm đầu

Góc giữa hai vecto $\vec{O A}, \vec{O B}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $(\vec{O A}, \vec{O B})$ .

Tích vô hướng của hai vecto

\vec{O A}, \vec{O B}

là một số thực, kí hiệu

\vec{O A} . \vec{O B}

, được xác định bởi công thức:

\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | \cos (\vec{O A}, \vec{O B})

b) Tích vô hướng của hai vecto tùy ý

Cho hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ . Lấy một điểm O và vẽ vecto $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ .

Góc giữa hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ , là góc giữa hai vecto $\vec{O A}, \vec{O B}$ .

Tích vô hướng của hai vecto

\vec{a}, \vec{b}

, kí hiệu

\vec{a} . \vec{b}

, là tích vô hướng của hai vecto

\vec{O A}, \vec{O B}

. Như vậy, tích vô hướng của hai vecto

\vec{a}, \vec{b}

là một số thực được xác định bởi công thức:

\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})

Quy ước: Tích vô hướng của một vecto bất kì với vecto $\vec{0}$ là số 0.

Chú ý:

+) $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ .

+) Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ thì ta nói hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ hoặc $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ . Khi đó $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos 90^{o} = 0$ .

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

2. Tính chất

Với hai vecto bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ và số thực k tùy ý, ta có:

+) $\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a}$ (tính chất giao hoán).

+) $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$ (tính chất phân phối).

+) $(k \vec{a}) . \vec{b} = k (\vec{a} . \vec{b}) = \vec{a} . (k \vec{b})$ .

+) ${\vec{a}}^{2} \geq 0$ , ${\vec{a}}^{2} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$ .

Trong đó, kí hiệu $\vec{a} . \vec{a} = {\vec{a}}^{2}$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vecto $\vec{a}$ .

3. Một số ứng dụng

a) Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét: Với hai điểm A, B phân biệt, ta có ${\vec{A B}}^{2} = {| \vec{A B} |}^{2}$ . Do đó, độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: $A B = \sqrt{{\vec{A B}}^{2}}$ .

b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét: Cho hai vecto bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 4 cm.

a) Tính độ dài cạnh huyền BC.

b) Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ ; $\vec{B A} . \vec{B C}$ .

Giải:

a) $B C = A B \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ (cm).

b) $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= 4.4. \cos \hat{B A C} = 16. \cos 90^{o} = 16.0 = 0$ .

$\vec{B A} . \vec{B C} = | \vec{B A} | . | \vec{B C} | . \cos (\vec{B A}, \vec{B C})$

$= 4.4 \sqrt{2} . \cos \hat{A B C} = 16 \sqrt{2} . \cos 45^{o} = 16 \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$ .

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{O C}$ .

b) $\vec{A B} . \vec{B D}$ .

c) $\vec{A B} . \vec{O D}$ .

Giải:

a) Ta có: $(\vec{A B}, \vec{O C}) = (\vec{A B}, \vec{A O}) = \hat{B A O} = 45^{o}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{O C} = | \vec{A B} | . | \vec{O C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{O C}) = a . \frac{a}{\sqrt{2}} . \cos 45^{o} = \frac{a^{2}}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}$ .

b) Vẽ vecto $\vec{B E} = \vec{A B}$ . Ta có:

$(\vec{A B}, \vec{B D}) = (\vec{B E}, \vec{B D}) = \hat{E B D} = 135^{o}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{B D} = | \vec{A B} | . | \vec{B D} | . \cos (\vec{A B}, \vec{B D}) = a . a \sqrt{2} . \cos 135^{o} = a^{2} \sqrt{2} . \frac{- \sqrt{2}}{2} = - a^{2}$ .

c) Vì $\vec{B E} = \vec{A B}$ , $\vec{B O} = \vec{O D}$ nên $(\vec{A B}, \vec{O D}) = (\vec{B E}, \vec{B O}) = \hat{E B O} = 135^{o}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{O D} = | \vec{A B} | . | \vec{O D} | . \cos (\vec{A B}, \vec{O D}) = a . \frac{a}{\sqrt{2}} . \cos 135^{o} = \frac{a^{2}}{\sqrt{2}} . \frac{- \sqrt{2}}{2} = \frac{- a^{2}}{2}$ .

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O, ta có:

a) $\vec{O I} . \vec{I A} + \vec{O I} . \vec{I B} = 0$ .

b) $\vec{O I} . \vec{A B} = \frac{1}{2} ({\vec{O B}}^{2} - {\vec{O A}}^{2})$ .

Giải:

a) Vì I là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{O I} . \vec{I A} + \vec{O I} . \vec{I B} = \vec{O I} . (\vec{I A} + \vec{I B}) = \vec{O I} . \vec{0} = 0$ .

b) Vì I là trung điểm AB nên $2 \vec{O I} = \vec{O B} + \vec{O A} \Leftrightarrow \vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O B} + \vec{O A})$ .

Vậy $\vec{O I} . \vec{A B} = \frac{1}{2} (\vec{O B} + \vec{O A}) . (\vec{O B} - \vec{O A}) = \frac{1}{2} . ({\vec{O B}}^{2} - {\vec{O A}}^{2})$ .

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính $\vec{A B} . \vec{A B} + \vec{A B} . \vec{B C}$ .

Giải:

$\vec{A B} . \vec{A B} + \vec{A B} . \vec{B C} = \vec{A B} . (\vec{A B} + \vec{B C}) = \vec{A B} . \vec{A C} = 0$ (do $\vec{A B}$ vuông góc với $\vec{A C}$ ).

Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos A$ (định lí cosin trong tam giác).

Giải:

Ta có ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2. \vec{A C} . \vec{A B}$ .

Suy ra $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos A$ .