Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

Cho hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Góc giữa hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu $(\vec{u}, \vec{v})$

a) Cách xác định góc:

Chọn điểm A bất kì, vẽ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó $(\vec{u}, \vec{v}) = \hat{B A C}$ .

b) Các trường hợp đặc biệt:

+) $(\vec{u}, \vec{0}) = α$ tùy ý, với $0^{\circ} \leq α \leq 180^{\circ}$

+) $(\vec{u}, \vec{v}) = 90^{\circ} \Leftrightarrow \vec{u} ⊥ \vec{v}$ hoặc $\vec{v} ⊥ \vec{u}$ . Đặc biệt: $\vec{0} ⊥ \vec{u} \forall \vec{u}$

+) $(\vec{u}, \vec{v}) = 0^{\circ} \Leftrightarrow \vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng

+) $(\vec{u}, \vec{v}) = 180^{\circ} \Leftrightarrow \vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

+) Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ : $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

+) $\vec{u} . \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} ⊥ \vec{v}$

+) $\vec{u} . \vec{u} = {\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0^{\circ} = {| \vec{u} |}^{2}$

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Cho 3 vecto $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:

$\begin{array}{l} \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} \\ \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} \\ (k \vec{u}) . \vec{v} = k . (\vec{u} . \vec{v}) = \vec{u} . (k \vec{v}) \end{array}$

Hệ quả

$\begin{array}{l} \vec{u} . (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} - \vec{u} . \vec{w} \\ {(\vec{u} + \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} + 2 \vec{u} . \vec{v} + {\vec{v}}^{2}; {(\vec{u} - \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} - 2 \vec{u} . \vec{v} + {\vec{v}}^{2} \\ (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) = {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2} \end{array}$