1. GÓC GIỮA HAI VECTO
Cho hai vecto →u và →v khác →0. Góc giữa hai vecto →u và →v , kí hiệu (→u,→v).
a) Cách xác định góc:
Chọn điểm A bất kì, vẽ −−→AB=→u và −−→AC=→v. Khi đó (→u,→v)=ˆBAC.
b) Các trường hợp đặc biệt:
+) (→u,→0)=α tùy ý, với 0∘≤α≤180∘.
+) (→u,→v)=90∘⇔→u⊥→v hoặc →v⊥→u. Đặc biệt: →0⊥→u∀→u.
+) (→u,→v)=0∘⇔→u,→v cùng hướng.
+) (→u,→v)=180∘⇔→u,→v ngược hướng.
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
+) Tích vô hướng của hai vecto →u,→v là một số, kí hiệu:
→u.→v=∣∣→u∣∣.∣∣→v∣∣.cos(→u,→v).
+) →u.→v=0⇔→u⊥→v.
+) →u.→u=→u2=∣∣→u∣∣.∣∣→u∣∣.cos0∘=∣∣→u∣∣2.
3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho →u=(x;y) và →v=(x′;y′).
Khi đó →u.→v=xx′+yy′.
Hệ quả:
+) →u⊥→v⇔xx′+yy′=0
+) →u2=→u.→u=x.x+y.y=x2+y2.
+) Tìm góc giữa hai vecto: cos(→u,→v)=→u.→v∣∣→u∣∣.∣∣→v∣∣=xx′+yy′√x2+y2.√x′2+y′2.
b) Công thức tính tích vô hướng khi biết độ dài:
Theo định lí cosin: cosˆBAC=AB2+AC2−BC22.AB.AC
⇒−−→AB.−−→AC=AB.AC.cosˆBAC=AB2+AC2−BC2.
c) Tính chất
Cho 3 vecto →u,→v,→w bất kì và mọi số thực k, ta có:
→u.→v=→v.→u;
→u.(→v+→w)=→u.→v+→u.→w;
(k→u).→v=k.(→u.→v)=→u.(k→v).
Hệ quả
→u⋅(→v−→w)=→u⋅→v−→u⋅→w;
(→u+→v)2=→u2+2→u⋅→v+→v2;
(→u−→v)2=→u2−2→u⋅→v+→v2;
(→u+→v)(→u−→v)=→u2−→v2.
à một số, kí hiệu:
