Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Tính chất cơ bản của phân thức

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ (M là một đa thức khác đa thức không).

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ (N là một đa thức nhân tử chung).

Ví dụ: Để biến đổi phân thức $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}}$ thành $\frac{- 1}{x + y}$ , ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}}$ cho y – x, khi đó $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}} = \frac{- (y - x)}{(y - x) (y + x)} = \frac{- 1}{x + y}$

2. Rút gọn phân thức

Để rút gọn một phân thức, ta thực hiện như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung (trong một số trường hợp, cần đổi dấu của tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung);

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lưu ý: Tại giá trị của các biến thỏa mãn điều kiện xác định của một phân thức, giá trị của phân thức đó và của phân thức sau khi rút gọn là như nhau.

Ví dụ: Rút gọn phân thức $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}{x^{2} - 9 x}$ ta được:

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}{x^{3} - 9 x} = \frac{x (x^{2} - 6 x + 9)}{x (x - 3) (x + 3)} = \frac{x {(x - 3)}^{2}}{x (x - 3) (x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 3}$