Lý thuyết Tính chất của phép khai phương Toán 9 Chân trời sáng tạo

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Tính chất

Với biểu thức A bất kì, ta có $\sqrt{A^{2}} = | A |$ , nghĩa là

$\sqrt{A^{2}} = A$ khi $A \geq 0$ ;

$\sqrt{A^{2}} = - A$ khi $A < 0$ .

Ví dụ: Với $x < 0$ , ta có 1 – x > 0. Do đó ${(\sqrt{1 - x})}^{2} = 1 - x$ .

2. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có

$\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{27} . \sqrt{3} = \sqrt{27.3} = \sqrt{81} = 9$

Với $a \geq 0, b < 0$ thì $\sqrt{25 a^{2} b^{2}} = \sqrt{5^{2} . a^{2} . {(- b)}^{2}} = \sqrt{5^{2}} . \sqrt{a^{2}} . \sqrt{{(- b)}^{2}} = 5. a . (- b) = - 5 a b$ .

Nhận xét: Ta có thể biến đổi $\sqrt{a b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ hoặc $\sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ ( $a \geq 0$ và $b \geq 0$ ) để việc tính toán được dễ dàng hơn.

Với số thực a bất kì và b không âm, ta có

$\sqrt{a^{2} b} = | a | \sqrt{b}$ .

Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn.

+ Nếu $a \geq 0$ thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

+ Nếu $a < 0$ thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

Tổng quát, với hai biểu thức A và B mà $B \geq 0$ , ta có $\sqrt{A^{2} B} = | A | \sqrt{B}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{75} = \sqrt{25.3} = \sqrt{5^{2} .3} = 5 \sqrt{3}$

$\sqrt{15 a} . \sqrt{3 a} = \sqrt{15 a .3 a} = \sqrt{3^{2} a^{2} .5} = | 3 a | \sqrt{5}$ .

2. Căn thức bậc hai của một thương

Tính chất

Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ .

Ví dụ: $\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8}$ ;

$\sqrt{\frac{4 a^{2}}{25}} = \frac{\sqrt{4 a^{2}}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{4} . \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{25}} = \frac{2 | a |}{5}$ ;

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$ ;

Với $a > 0$ thì $\frac{\sqrt{52 a^{3}}}{\sqrt{13 a}} = \sqrt{\frac{52 a^{3}}{13 a}} = \sqrt{4 a^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2}} = 2 a$ .

Nhận xét: Ta có thể biến đổi $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ hoặc $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ( $a \geq 0$ và $b > 0$ ) để việc tính toán được dễ dàng hơn.