Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là $-\infty$;b là $+\infty$)

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

• Nếu f’(x) $\ge$ 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
• Nếu f’(x) $\le$ 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là $-\infty$, b có thể là $+\infty$ ) và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$.

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f($x_0$) $\forall x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_0$
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f($x_0$) $\forall x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_0$

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Khi đó:

• Nếu f’(x) < 0 $\forall x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) > 0 $\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
• Nếu f’(x) > 0 $\forall x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) < 0 $\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm $x_i$(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Lập BBT của hàm số.
4. Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị