Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 1. Tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên tập hợp $D$ và $x_{0} \in D$ .

- Nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_{0}$ và $(a; b) \subset D$ sao cho $f (x) < f (x_{0})$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ thì $x_{0}$ được gọi là một điểm cực đại, $f (x_{0})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $y = f (x)$ , kí hiệu $y_{C Đ}$ .

- Nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_{0}$ và $(a; b) \subset D$ sao cho $f (x) > f (x_{0})$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ , thì $x_{0}$ được gọi là một điểm cực tiểu, $f (x_{0})$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $y = f (x)$ , kí hiệu $y_{C T}$ .

Định lý

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_{0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_{0})$ và $(x_{0}; b)$ . Khi đó:

a) Nếu f’(x) < 0 với mọi $x \in (a; x_{0})$ và f’(x) > 0 với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm $x_{0}$ .

b) Nếu f’(x) > 0 với mọi $x \in (a; x_{0})$ và f’(x) < 0 với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm $x_{0}$ .