Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu $\forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.
• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu $\forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0.
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0.

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x):

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm $x_i$ (i = 1, 2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là $-\infty$, b có thể là $+\infty$ ) và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$.

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f($x_0$) $\forall x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_0$.
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f($x_0$) $\forall x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_0$.

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Khi đó:

• Nếu f’(x) < 0 $\forall x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) > 0 $\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
• Nếu f’(x) > 0 $\forall x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) < 0 $\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).